Diseño de actividades de aprendizaje de matemáticas en primaria con la mediación de tecnologías digitales

 
Resumen
En el artículo se presentan los resultados de un proyecto de investigación donde se analiza el desarrollo del pensamiento numérico en los y las estudiantes de grado quinto. En este proyecto los y las estudiantes desarrollan un conjunto de habilidades para resolver problemas sobre las operaciones básicas (suma y resta) de la fracción como relación parte-todo en situaciones de la vida diaria, donde integren diferentes tipos de representaciones mediado con el software GeoGebra, el cual les facilita a los y las estudiantes a realizar una mejor exploración, manipulación y visualización del objeto matemático. Este trabajo llevó a cabo un análisis de las estrategias heurísticas, de control y de los métodos usados por los y las estudiantes para desarrollar las actividades propuestas en la secuencia didáctica.

¿Dónde se hizo el proyecto?
La aplicación del trabajo se realizó en la sede de Santa Cecilia de la Institución Educativa P.B.R.O Horacio Gómez Gallo. Esta Institución Educativa se encuentra ubicada en el Corregimiento de Robles, y pertenece al Municipio de Jamundí en el Sur del Departamento del Valle del Cauca con un 85% de personas afro y las demás distribuidas entre mestizos y mulatos. La extensión total del Corregimiento es de 1,460.49 has. De las que aproximadamente 18 son urbanas y 1.442.49 rurales. El área urbana está dividida en 5 barrios y la zona rural en 3 veredas (Laguna Seca con 139.3 ha, El Progreso con 80.4 has y Tinajas con 671.3 has). La extensión total del Corregimiento de Robles es de 18.50 km^2.

Las características básicas de las Institución Educativa P.B.R.O Horacio Gómez Gallo son: su calendario académico es A, se encuentra en el sector oficial, el género de los y las estudiantes que hacen parte de la institución es mixto, cuenta con cuatro niveles educativos (escolar, básica primaria, básica secundaria y media), la jornada académica es en horas de la mañana y tiene un carácter técnico-educativo, pero con especialidad educativa.

Las personas que participaron en el trabajo de investigación son estudiantes del grupo 5° de la sede de Santa Cecilia de la Institución Educativa P.B.R.O Horacio Gómez Gallo, integrado por 31 estudiantes, de los cuales 17 son mujeres (56,7%) y 13 hombres (43,3%), con edades entre 9 y los 11 años, pero en su mayoría de 10. Se debe aclarar que de los 31 estudiantes solo participaron en la implementación del proyecto 16 estudiantes, de los cuales 7 son mujeres 43,8% y 9 hombres y 56,3%.

Los estudiantes de grado quinto, un 100% de la sede Santa Cecilia de la Institución Educativa P.B.R.O Horacio Gómez Gallo, son de estrato 1 y 2 en el cual la mayoría no dispone de un dispositivo electrónico para poder llevar a cabo el proyecto de investigación.

Esta población de acudientes de estudiantes de la sede Santa Cecilia, se dedican a trabajos agrícolas independiente (siembran y cosechan banano, plátano, cacao, café, yuca, naranja, mandarina, etc.), trabajos informales (venta de rifas, tiendas, domicilios, venta de postres, galletas, etc.), trabajo asalariado (caña, maíz, piña) todos estos trabajos se realizan en los corregimientos de Robles, Chagres, Timba y Quinamayo que son parte del municipio de Jamundí, sin olvidar que la población restante de acudientes trabaja en el sector privado y público.
¿Qué se hizo y por qué?
En este artículo se presentan los resultados del proyecto, que tiene como objetivo central describir las características que tiene un proceso de aprendizaje de la fracción con relación parte-todo en un ámbito de la resolución de problemas en contexto real con la mediación de GeoGebra en estudiantes de quinto.

Por medio de la creación de hojas de trabajo del software esta propuesta busca que los y las estudiantes logren desarrollar un conjunto de habilidades para resolver problemas sobre fracción con relación parte-todo en situaciones de la vida diaria, donde integren diferentes tipos de representaciones. En este sentido, el diseño metodológico del trabajo de investigación propone no solo el diseño de hojas de trabajo, sino también su aplicación (como prueba piloto) a un grupo de estudiantes de la Institución Educativa P.B.R.O. Horacio Gómez Gallo. El objetivo de la propuesta busca que los y las estudiantes adquieran mayor comprensión del concepto de fracción y un aprendizaje significativo para su resolución, sin necesidad de recurrir a procesos de enseñanza limitados a la memorización y al cálculo.

En este documento se describen detalladamente las instrucciones, conjeturas y argumentos de los y las estudiantes de grado quinto de la Institución Educativa P.B.R.O. Horacio Gómez Gallo del corregimiento de Robles, en un ambiente de resolución de problema mediado con tecnología, que estimula el empleo del software GeoGebra, mediante la plataforma Google Sites y la recolección de preguntas abiertas planteadas en las hojas de trabajo.

Se analiza que el mejor rendimiento de los y las estudiantes fue durante la Hoja de trabajo N°1, posiblemente esto se debe a que esta Hoja de trabajo N°1 fue diseñada para el uso de los elementos o conceptos fundamentales del objeto matemático, además de tener una interacción persistente con los applets diseñados para esta Hoja de trabajo. También se diseñó un applet para la resolución de problema en la Hoja de trabajo N°1 llamado “LA CARRERA” donde se realizó una contextualización para que los y las estudiantes fueran autónomos en la resolución del problema, con la intención de que visualizaran y relacionaran por medio del problema otras situaciones problemas relacionados en su contexto. Mencionado lo anterior, se evidenció que los y las estudiantes no presentaron dificultades en la comprensión del enunciado del problema y sobre lo que debían realizar para resolver el problema. Se debe mencionar que en esta Hoja de trabajo N°1 los y las estudiantes comenzaron a participar con gran motivación al momento de interactuar con el applet.

La hoja de trabajo N°2 y la hoja de trabajo N°3 estuvieron orientadas a la suma y resta de fracciones, se mejoró el rendimiento de los y las estudiantes en estas hojas de trabajo. Se debe mencionar que el diseño de estas dos hojas de trabajo están relacionadas ya que trata de las dos operaciones básicas (suma y resta) del objeto matemático y el diseño de los applets son equivalentes, solo cambia la operación que se utilice, por esta razón se realiza en conjunto el análisis ya que el desempeño de los y las estudiantes fue alto.

Por otro lado, se diseñó un applet para que los estudiantes visualizaran, comprendieran y argumentaran las diferentes representaciones del objeto matemático. Luego se diseñó un applet para que los y las estudiantes realizaran sumas de fracciones de manera tradicional (papel y lápiz) y luego colocaban los números naturales en las casillas de numerador y en las casillas del denominador, para resolver las suma de fracción que se observa en el applet y coloca el resultado en el espacio dado, con el propósito de hacer un contraste entre los resultados dados y argumentar qué tipo de procedimiento realizó para llegar a la solución de la suma de fracciones.

Posteriormente se diseñó dos applets para la resolución de problema en la Hoja de trabajo N°2 llamados “Venta de queso costeño”, “Venta de pollos campesinos en la plaza de Timba” y “Supermercado CARIBE”. En estas actividades los y las estudiantes resolvieron los dos problemas argumentando cuánta porción de queso costeño se llevaron en total Juan y Oscar de la tienda y cuántos kilos pesan en total los dos pollos de la granja de la señora María, luego plantearon el método utilizado para resolver el problema; por último, colocaron el número que representaba la opción correcta en la Hoja de trabajo.

Se puede concluir que al diseñar los applets de la Hoja de trabajo N°1 favorecieron a la comprensión de forma coherente con las preguntas que estaban planteadas. La desviación estándar y el coeficiente de variación fueron disminuyendo, de esto se comprende que la disposición, motivación y el interés de algunos de los y las estudiantes en la implementación de las hojas de trabajo lograron cumplir con los objetivos planteados en las tres hojas de trabajo diseñadas llegando a construir un aprendizaje significativo; sin embargo, otros estudiantes no presentaron un interés y una disposición activa en la implementación de estas hojas de trabajo.

¿Cómo se hizo el proyecto?
El proyecto se organiza en dos momentos: uno en el marco teórico y el otro en el diseño metodológico.

 
Diseño Metodológico
En el diseño metodológico se pretende hacer una descripción de las actividades que forman parte en esta investigación y se presentan los componentes que se tomaron en cuenta a lo largo del desarrollo de la investigación en las diferentes fases de estudio: fase de diseño de actividades, fase del estudio piloto, fase de uso de tecnología, fase de recolección y fase de análisis de la información. Las fases implementadas fueron sugeridas en la tesis doctoral de David Benítez Mojica (2006).

Fases de estudio.
En esta sección se presentan de manera sintética los pasos que se siguieron durante el trabajo, en las distintas fases: fase de diseño de actividades, fase del estudio piloto, fase de uso de tecnología, fase de recolección y fase de análisis de la información.

En la siguiente Figura se pueden identificar las fases de estudio que se desarrollaran en el trabajo. Posteriormente se hace una descripción detallada de cada una de las fases.
Figura 2:
Fases de estudio

¿Con qué materiales se ejecutó el proyecto?
Los materiales con los que se ejecutó el proyecto fueron un computador, papel y lápiz, el Software GeoGebra (hojas de trabajo) y las herramientas que permitieron la recolección de datos (encuesta de diagnóstico impresa, hojas de trabajo, encuesta de salida, presentaciones, filmaciones de clases y formularios de Google).

¿Qué resultados se obtuvieron?

Prueba diagnóstica
La prueba diagnóstica fue diseñada en un formulario de Google, la cual fue impresa con 10 preguntas en total, unas de opciones múltiples y otras abiertas. Esta prueba fue implementada de manera presencial el día viernes 18 de febrero del 2022 en el salón de clase, con una duración de 30 minutos, se estuvo aclarando dudas e inquietudes sobre la redacción y sentido de las preguntas, participaron 16 estudiantes de quinto grado con edades que oscilan entre los 9 y 11 años de edad.
Se realizó un análisis de la prueba diagnóstica recopilando la información de los argumentos que dieron los estudiantes en el momento de realizar la prueba. La prueba diagnóstica tiene el propósito de poder comprender los conocimientos previos que tiene el estudiante acerca del objeto matemático entendiendo las habilidades y debilidades conceptuales de los y las estudiantes en el transcurso del proceso de aprendizaje con la secuencia didáctica propuesta. Esta prueba tiene 10 preguntas en las que trata los conceptos de fracción, numerador, denominador, fracción propia, fracción impropia y fracción igual a la unidad. Cuando ya se tienen todos los resultados de la prueba diagnóstica se dará comienzo a hacer las construcciones de las hojas de trabajo.

Objetivos
El objetivo de la prueba diagnóstica es dar a conocer si los y las estudiantes cuentan con el conocimiento necesario de objeto matemático y sus componentes que considero básico para realizar la situación didáctica, también considerar si los y las estudiantes necesitan realmente de la clase diseñada.

Análisis cuantitativo global de la prueba diagnóstica
El rendimiento promedio o de la media de los y las estudiantes fue de 13,625 de 32 que equivale al 42,578%. De lo anterior podemos comprobar que hay un rendimiento global bajo de los y las estudiantes y tenemos un coeficiente de variabilidad muy bajo del 18,021% y nos refleja que es un grupo muy disperso u homogéneo.
Figura 3:
Resultados de la prueba diagnóstica

• El desempeño por parte de los y las estudiantes de las preguntas 1, 4, 5, 9 y 10 fue bueno, se puede decir que los y las estudiantes en general presentan los recursos adecuados sobre fracción, fracción igual a la unidad y ejemplos de esta, numerador y denominador de una fracción. Cabe destacar que en la pregunta 4 y 5 gran parte los estudiantes no comprendía con claridad qué representa en una fracción el numerador y el denominador, confunden estas dos partes fundamentales de la fracción. Las preguntas 9 y 10 estuvieron enfocadas en definir qué era una fracción igual a la unidad y además dar un ejemplo que representara ya sea de forma numérica o escrita esta fracción.
• El desempeño por parte de los y las estudiantes de las preguntas 2, 3, 6, 7 y 8 obtuvieron unos resultados muy bajos, dado que presentan dificultades y mantienen creencias erróneas de las partes de una fracción, fracción propia, fracciones impropias y ejemplos de esta. En las preguntas 2 y 3 hubo gran porcentaje de respuestas incorrectas donde la mayor parte de los y las estudiantes presentan dificultades en la comprensión de las partes de una fracción y en las representaciones que tienen las fracciones, y esa dificultad se da porque confunden las partes y representaciones de una fracción con las operaciones básicas de matemática. En las preguntas 6, 7 y 8 los y las estudiantes no distinguen o no tienen claro las definiciones de fracciones propias y las fracciones impropias, dado que las confunden.

 
Análisis de la hoja de trabajo N°1: Introducción a las fracciones
En la actividad 1 se plantea la hoja de trabajo N°1 llamada Introducción a las fracciones, esta se aplicó el día 8 de junio de 2022: la actividad permitió que los y las estudiantes lograran explorar sobre los elementos fundamentales de la fracción como relación parte-todo y poder visualizar qué cambios se producen en la fracción si los elementos que la componen se transforman.

La hoja de trabajo N°1 constituía de tres ejercicios y un problema, estos estaban diseñados en el software GeoGebra. El primer ejercicio consistió en que los y las estudiantes lograran visualizar, mover, graficar y comprender los diferentes tipos de representaciones gráficas (circular, rectangular y lineal), numérica, decimal y escrita que tiene la fracción como relación parte-todo. En el segundo ejercicio los y las estudiantes calcularon, colocaron y ordenaron la fracción como relación parte-todo que corresponde a las casillas de numerador y denominador.

En el tercer ejercicio se planteó usar el lápiz para trazar una línea uniendo las fracciones que representan las pizzas con la representación numérica. Por último, se propone un problema llamado “LA CARRERA” donde el y las estudiantes, para resolverlo, debe utilizar el método de resolución de problema de Pólya. También se elaboraron 12 preguntas en el formulario de Google, donde se debía contestar de forma escrita.
Objetivos

• Identificar las estrategias heurísticas utilizadas por los y las estudiantes de quinto grado en la resolución de problemas.
• Analizar cómo los y las estudiantes comprenden y argumentan los elementos fundamentales de la fracción como relación parte-todo.
• Analizar el impacto del empleo de tecnología en el objeto matemático.
• Analizar cómo determinan una relación entre las diferentes representaciones de la fracción como relación parte-todo.

Análisis cuantitativo global de la hoja de trabajo N°1: Introducción a las fracciones
El rendimiento de la media de los y las estudiantes fue de 19,6 de 32 que equivale al 61,13%. En relación con lo anterior, se puede confirmar que hay un rendimiento global alto de los y las estudiantes y el coeficiente de variabilidad muy bajo del 20,2% y nos refleja que es un grupo disperso.
Figura 4.
Análisis de la hoja de trabajo N°1: Introducción a las fracciones

• El rendimiento de los y las estudiantes en las preguntas 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 y 11 fue alto, se puede mencionar que los y las estudiantes en general presentan los recursos para comprender con claridad la transición de una representación gráfica a una representación numérica de las fracciones con relación parte-todo utilizando las diferentes herramientas que tiene el applet. Pero es necesario recalcar, que en las preguntas 4, 8, 9, 10 y 11 pocos estudiantes no alcanzaron a transformar los recursos para lograr la transición de pasar de una representación a otra.
• Las preguntas 1, 2, 3 y 12 evidencian que el desempeño de los y las estudiantes es bajo, estas estuvieron orientadas a requerir en los y las estudiantes una comprensión e interpretación lógica y coherente de los conceptos matemáticos a trabajar en las actividades que conforman la Hoja de trabajo N°1. En las preguntas 1, 2 y 3 gran parte de los y las estudiantes tuvieron dificultades en argumentar cuando una fracción con relación parte-todo es mayor, menor o igual al denominador. Por último en la pregunta 12 la mayoría de los y las estudiantes presentaron dificultades en desarrollar habilidades, relacionando estas habilidades como un conjunto de estrategias el cual permite justificar el método que utilizaron al resolver el problema llamado “LA CARRERA”.

Análisis de la hoja de trabajo N°2: Suma de fracciones
En la actividad 2 se propone la Hoja de trabajo N°2 llamada “Suma de fracciones”, la cual se aplicó el día 9 de junio de 2022. Antes de que los y las estudiantes iniciaran la actividad es importante reconocer los procedimientos para realizar la operación de suma de fracción como relación parte-todo, para ello se propone observar el vídeo. Una vez finalizado, se dará comienzo a la actividad. En esta actividad los y las estudiantes logran explorar e interactuar con los elementos fundamentales de la operación suma en fracción con relación parte-todo.

La Hoja de trabajo N°2 la constituyen tres ejercicios y dos problemas reales enfocados en el contexto de los y las estudiantes, estos estaban diseñados en el software GeoGebra. El primer ejercicio consistió en que los y las estudiantes movieran o desplazaran cada uno de los deslizadores de numerador y denominador para observar las diferentes fracciones que se construían en las representaciones circulares y cómo estas también se podían crear al momento de colocar fracciones representadas con cualquier número natural en las casillas de numerador y denominador.

En la segunda parte de la actividad se plantean seis casos de suma de fracción con relación parte-todo, los y las estudiantes deben resolverlo de manera tradicional (lápiz y papel) la suma de fracciones y luego dirigirse a la Hoja de trabajo N°2 y colocar los números naturales en las casillas de numerador y en las casillas del denominador, para resolver las suma de fracción que se observa en el applet y colocar el resultado en el espacio dado, con el propósito de hacer un contraste entre los resultados dados y argumentar qué tipo de procedimiento realizó para llegar a la solución de la suma de fracciones.

En la tercera parte de la actividad los y las estudiantes visualizaron la forma como se representa y se aborda las fracciones con relación parte-todo en la recta numérica, en esta actividad se proponen diferentes ejemplos para la comprensión de este.

En la cuarta y quinta actividad se proponen dos problemas llamados “Venta de queso costeño” y “Venta de pollos campesinos en la plaza de Timba”, en estas dos actividades los y las estudiantes justificaron cuál era la respuesta correcta y por qué las demás opciones no eran la respuesta correcta. En estas actividades los y las estudiantes resolvieron los dos problemas argumentando cuánta porción de queso costeño se llevaron en total Juan y Oscar de la tienda y cuántos kilos pesan en total los dos pollos de la granja de la señora María, luego plantearon el método utilizado para resolver el problema; por último, colocaron el número que representaba la opción correcta en la Hoja de trabajo.

Objetivos

• Identificar las estrategias heurísticas y de control utilizadas por los y las estudiantes de quinto grado en la resolución de problemas.
• Analizar el impacto del empleo de tecnología en el aprendizaje de la fracción con relación parte-todo en operación de adición.
• Analizar cómo comprenden, resuelven, argumentan y qué procedimientos utilizan los y las estudiantes para la resolución de problemas.

Análisis cuantitativo global de la hoja de trabajo N°2: Suma de Fracciones.
La media de los y las estudiantes en la Hoja de trabajo N°2 es de 20,2 de 32 que equivale al 84,1% lo que nos indica un desempeño alto, el coeficiente de variabilidad fue de 20,1% se identifica que la dispersión disminuyó respecto a la Hoja de trabajo N°1. En la siguiente figura se puede observar los resultados generales de la Hoja de trabajo N°2:
Figura 5.
Análisis de la Hoja de Trabajo N°2: Suma de Fracciones

• Al realizar una comparación entre la Hoja de trabajo N°1 con la Hoja de trabajo N°2, se puede afirmar que el desempeño de los y las estudiantes en la Hoja de trabajo N°2 ha crecido de manera satisfactoria en su proceso de aprendizaje y ha disminuido las respuestas incorrectas y las que no generan ningún tipo de respuestas en todas las preguntas.
• En las preguntas 1, 2 y 11 el desempeño de los estudiantes es bajo, la mayoría de las respuestas son incorrectas o no contestadas. De esto se comprende que los y las estudiantes no lograron fortalecer su proceso de aprendizaje al momento de interactuar con el applet, ya que la pregunta 1 estaba orientada hacia el movimiento de los deslizadores para visualizar las diferentes representaciones circulares de fracciones que generaba el applet. En la pregunta 2 pocos estudiantes presentaron dificultades y alcanzaron a construir su aprendizaje en la ejercitación de suma de fracciones mediado con el software GeoGebra. La pregunta 11 está relacionada con la resolución de problemas, donde se evidencia que los y las estudiantes no lograban plantear los métodos utilizados para resolver problemas.
• En las preguntas 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 el rendimiento de los y las estudiantes va aumentando respecto a las respuestas correctas. Las preguntas 3, 4, 5 y 6 estuvieron orientadas para que los estudiantes plantearan un ejercicio de sumas de fracciones, luego lo resolvieran y mencionaran qué estrategia utilizaron para resolverlo y por último realizaran una comparación con el resultado que genera el applet. Las preguntas 7, 8, 9, 10 y 12 estuvieron orientadas a la resolución de problemas donde se evidencia que los y las estudiantes mejoraron en la argumentación y resolución de problemas.

Análisis de la hoja de trabajo N°3: Resta de fracciones
En la actividad 3 se plantea la hoja de trabajo N°3 llamada “Resta de fracciones”, la cual se aplicó el 10 de junio de 2022. Me gustaría dejar claro, que la Hoja de trabajo N°3 está relacionada con la Hoja de trabajo N°2 respecto a las actividades que se diseñaron en las Hojas de trabajo, la diferencia es que en cada una se están trabajando operaciones distintas, es decir, en la Hoja de trabajo N°2 la operación que se trabaja es la suma y en la Hoja de trabajo N°3 la operación que se aborda es la resta del objeto matemático.

Por otro lado, en la actividad los y las estudiantes logran explorar e interactuar con los elementos fundamentales de la operación sustracción en fracción con relación parte-todo. La Hoja de trabajo N°3 la constituyen dos ejercicios y un problema real enfocados en el contexto de los y las estudiantes, estos estaban diseñados en el software GeoGebra. Se elaboraron 10 preguntas en el formulario de Google orientadas a ampliar el campo de aplicación y resolución de problemas de los conceptos aprendidos por los y las estudiantes y mejorar la comprensión, tanto de la operación sustracción en la fracción con relación parte-todo, como la resolución de problemas relacionada con la sustracción.

Objetivos

• Identificar las estrategias heurísticas y de control utilizadas por los y las estudiantes de quinto grado en la resolución de problemas en la sustracción de fracciones.
• Analizar el impacto del empleo de tecnología en el aprendizaje de la fracción con relación parte-todo en operación de sustracción.
• Analizar cómo comprenden, resuelven, argumentan y qué procedimientos utilizan los y las estudiantes para la resolución de problemas.

Análisis cuantitativo global de la hoja de trabajo N°3: Resta de fracciones.
La media de los y las estudiantes fue de 17,4 de 16 que equivale a un 87,2%, al analizar este porcentaje fue alto en cuanto a sus respuestas correctas y su coeficiente de variación fue del 18% lo que nos indica que ha disminuido respecto a las Hojas de trabajo N°1 y N°2. En el siguiente figura se presentan los resultados generales de la Hoja de trabajo N°3:

Figura 6.
Análisis de la hoja de trabajo N°3: Resta de fracciones

• Con respecto a el porcentaje de respuestas correctas es de 80%, es un porcentaje muy alto y se identificó que el porcentaje aumentó respeto a la Hoja de trabajo N°2, se observa que el porcentaje de las respuestas incorrectas es de 14,4% va disminuyendo el porcentaje a medida que los y las estudiantes avanzan es la Hoja de trabajo.
• Las preguntas que se elaboraron para el desarrollo conjunto con la Hoja de trabajo N°3, son equivalente a las preguntas que se llevaron a cabo en la Hoja de trabajo N°2, esta equivalencia se da porque estamos trabajando dos operaciones básicas (suma y resta), en la cual se quiere que los y las estudiantes fortalezcan o transformen su aprendizaje de las fracciones con relación parte-todo en estas dos operaciones. Por esta razón se puede decir que en general ha aumentado las respuesta correctas de los y las estudiantes a medida que interactúan, arrastran y visualizan con el applet. Por otro lado, las respuestas incorrectas de los y las estudiantes van disminuyendo.

Análisis de la prueba final
En este espacio se llevará a cabo el análisis a partir de los resultados obtenidos por parte de los y las estudiantes en el momento de desarrollar la actividad propuesta.

Se realizó un formulario de Google para la evaluación final recopilando todas las preguntas fundamentales que se habían realizado tanto en la prueba diagnóstica como en las tres actividades. Se hizo un análisis de la prueba de evaluación final recopilando el desarrollo del conocimiento de los y las estudiantes inmediatamente después de realizar las actividades de las Hojas de trabajo.

La prueba de evaluación final tiene como propósito realizar un análisis comparativo del conocimiento con el que llegaron los y las estudiantes del objeto matemático antes de comenzar las actividades de las Hojas de trabajo y el conocimiento con el que quedaron los y las estudiantes al finalizarlas. Esta prueba estuvo comprendida por 8 preguntas en las que trato los conceptos inmersos en cada una de las actividades de las Hojas de trabajo.

Objetivo.
El objetivo de la prueba de evaluación final es dar a conocer si los y las estudiantes construyeron y transformaron un aprendizaje significativo al usar herramientas tecnológicas sobre el objeto matemático tratado. También conocer si las Hojas de trabajo diseñadas fueron pertinentes para el desarrollo de estrategias heurísticas y de control en la resolución de problemas.

Análisis cuantitativo global de la prueba final
El rendimiento de la media fue de 14,1 de 16 estudiantes, lo que equivale a un 88,3%. Esto representa un porcentaje alto en respuestas correctas, y su coeficiente de variación fue del 14%, lo que indica que es un grupo heterogéneo de estudiantes. En la siguiente figura se presentan los resultados generales de la prueba de evaluación final:
Figura 7.
Resultados de la prueba de evaluación final

• Esta prueba de evaluación final tuvo la intención de validar y de observar hasta qué punto los y las estudiantes lograron estudiar los conceptos matemáticos aprendidos en las Hojas de trabajo N°1, N°2 y N°3 y cómo pudieron comprender con claridad los diferentes problemas matemáticos planteados desde las operaciones de suma y resta mediado con el software GeoGebra.
• En la pregunta 1 pocos estudiantes mejoraron su manera de argumentar, logrando decir con claridad lo que ellos comprenden por una fracción con relación parte-todo. También se puede evidenciar que, en el resultado de la 1 pregunta, los y las estudiantes que siguen presentando dificultad posiblemente se debe a problemas de tipo gramaticales o de uso apropiado del lenguaje, se debe mencionar que no puedo enfatizar en profundidad en esta dificultad porque no se está haciendo un estudio de esta parte y solo se presentan unas posibles causas. Con respecto a esta dificultad se puede recomendar a posibles lectores hacer un estudio posterior, porque vale la pena hacer otro trabajo para profundizar en esta anomalía.
• En la pregunta 2 la mayoría de los y las estudiantes comprendieron con claridad cada una de las partes de la fracción, no hubo dificultad en esta pregunta.
• Se evidencia en la pregunta 3 la facilidad en la que los y las estudiantes pasaron de una representación gráfica, a una numérica, escrita o una decimal, medidas con el software GeoGebra.
• En las preguntas 4 y 5 los y las estudiantes alcanzaron a comprender cuál era el papel que juega tanto el numerador como el denominador en una fracción.
• Los y las estudiantes en las preguntas 6, 7 y 8 pudieron comprender cómo debe ser una fracción con relación parte-todo para que sea propia, impropia e igual a la unidad. Además, plantearon ejemplos de las fracciones propia, impropia e igual a la unidad con diferentes tipos de representaciones ya sea gráfica, numérica o escrita.

¿Cuáles son las lecciones aprendidas?

• La metodología que se implementó por medio de la incorporación del software GeoGebra, y lápiz y papel, favoreció la construcción de conocimientos del objeto matemático en las operaciones básicas (suma y resta) por lo que se evidenció en tres aspectos:
  1. El rendimiento promedio de los y las estudiantes aumentó en la interacción con las hojas de trabajo. La metodología que se implementó motiva a los y las estudiantes a la participación, reflexión sobre las experiencias vividas en la interacción con las hojas de trabajo, fue notorio la participación y los argumentos que dieron los y las estudiantes a cada una de las preguntas.
  2. Los y las estudiantes al momento de interactuar con las hojas de trabajo desarrollaron y fortalecieron las estrategias heurísticas, control, habilidades y empleo de tecnología.
  3. En la implementación de las hojas de trabajo los y las estudiantes fomentaron diferentes tipos de valores tales como la responsabilidad, respeto y honestidad, desarrollando una autonomía en la construcción de su propio conocimiento ya que les ayuda a despertar la seguridad, motivación, confianza, compromiso y autosuficiencia.
  4. Los y las estudiantes presentaron una actitud activa hacia el aprendizaje de estrategias, búsqueda de patrones y exploración, esta actividad de las hojas de trabajo despertó su curiosidad y les permitió dejar de lado el aprendizaje por medio de la memorización y mecanización de los procedimientos.
  5. El diseño de las hojas de trabajo promueve que los y las estudiantes utilicen diferentes tipos de representaciones del objeto matemático para valorar distintas estrategias de solución, de forma que se enriqueciera el conocimiento al usar diversas opciones, con el fin de no limitar por un lado los procesos a un solo sistema de representación y por el otro no dejar de lado el uso de diversos medios, herramientas tecnológicas que permiten fortalecer las experiencias de aprendizaje.
  6. En la implementación de las hojas de trabajo los y las estudiantes lograron promover la apropiación del proceso de aprendizaje, identificaron sus objetivos y respondiendo dudas a partir de los objetivos.

 
Referencias

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González, C. A., Lucumí, M. T., Diaz, A. M. & Funecorobles (2006). Gestión del conocimiento e intercambios de experiencias entre telecentros Compartel y telecentros comunitarios. CARACTERIZACIÓN DE ROBLES VALLE MUNICIPIO DE JAMUNDÍ Noviembre de * Momentos claves de la historia (periodos relevantes). Ejemplo: Por décadas. – PDF Free Download

García, J. (2004). Ambientes con recursos tecnológicos. Costa Rica. https://www.redalyc.org/pdf/447/44730107.pdf

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Pólya, G. (1965). ¿Cómo plantear y resolver problemas? Trillas.

Pólya, G. (1971). How to solve it. A New Aspect Of Mathematical Method. Universidad de Stanford. Trillas

Parra, D. M. (2020). Método gráfico para la enseñanza de las fracciones mediado con GeoGebra y la teoría de los registros de representación. https://repositorio.ucaldas.edu.co/bitstream/handle/ucaldas/16704/DianaMarcela_ParraCortes_2021PDF.pdf?sequence=1&isAllowed=y

Taborda, J. C. (2020). Uso de GeoGebra para la didáctica del álgebra vectorial como introducción a la física mecánica en la institución educativa Colegio Mayor de Nuestra Señora. https://repositorio.unal.edu.co/bitstream/handle/unal/79633/1053857651.2020.pdf?sequence=6&isAllowed=y

Anexo 2: Hoja de trabajo (Actividad 1)

Anexo 3: Hoja de trabajo (Actividad 2)

Anexo 4: Hoja de trabajo (Actividad 3)

Anexo 5: Hoja de trabajo (Evaluación final)

Resumen
El objetivo es documentar los tipos de conjeturas geométricas que construyen los estudiantes de quinto año de primaria del Colegio San Pedro Claver de la ciudad de Bucaramanga, en un ambiente de solución de problemas donde se promueve el uso de software dinámico y material manipulativo. En este trabajo se analizó el aprendizaje de los estudiantes a través de la hoja de trabajo, el rol del profesor y las estrategias utilizadas por los estudiantes que los llevarán a descubrir la relación que existe entre el volumen de un prisma y una pirámide con iguales dimensiones en su base y altura. Los resultados revelaron que los estudiantes a edad temprana pueden formular conjeturas geométricas en un ambiente de aprendizaje que promueve la participación, mediante la exploración con instrumentos de mediación como el software GeoGebra, el material manipulativo (plastilina, colores, regla, entre otros), la comunicación de ideas verbales y escritas, y la solución de situaciones problemas que estimulan su pensamiento matemático.

¿Dónde se hizo el proyecto?
El proyecto se desarrolló en el colegio San Pedro Claver de la ciudad de Bucaramanga, el cual cuenta con dos sedes: una de primaria y una de bachillerato, que funcionan en jornada única de 7:00 am a 4:30 pm de la tarde. Es una institución de carácter privado, que fundamenta su modelo pedagógico en la pedagogía ignaciana, el enfoque personalizado (aprendizaje centrado en la persona del estudiante), la práctica de metodologías activas y la implementación de variadas herramientas tecnológicas que despiertan el gusto, el interés y la motivación por el aprendizaje (Colegio San Pedro Claver, 2020).

El trabajo que se muestra se realizó en la sede de primaria del Colegio San Pedro Claver en la jornada de la mañana, la cual está ubicada en el barrio Conucos, de la Comuna 12 cabecera del llano de la ciudad de Bucaramanga. En esta sede están los estudiantes de los grados transición a quinto de la básica primaria. La investigación se realizó durante el tercer periodo del año académico 2021.

La comunidad escolar que participó en este estudio estuvo conformada por los estudiantes del grado quinto de básica primaria de dicha institución. El grupo fue mixto, con edades entre los 9 y los 11 años, los cuales pertenecen a un estrato socioeconómico 4, 5 y 6, en familias que cuentan con los recursos para brindarles los elementos necesarios para su formación escolar.

Estos estudiantes presentaban un buen nivel de educación en las matemáticas y en el uso de computadores, presaberes de Geometría y se encontraban en una etapa de adaptación al manejo del software GeoGebra.

¿Qué se hizo y por qué?
Esta investigación muestra los resultados de un estudio basado en el pensamiento geométrico y la resolución de problemas en niños de quinto primaria, donde, por medio de la observación y la experimentación usando entornos tecnológicos como GeoGebra y el material concreto, los estudiantes desarrollaron conjeturas que les permitiera comprender el estudio del volumen en los prismas y pirámides, para establecer una relación directa entre ellos.

La principal intención de esta investigación es implementar entornos de aprendizaje diferentes, que motive al estudiante a la búsqueda del conocimiento a través de nuevas estrategias de aprendizaje, en la cual el docente tiene un rol de guía y acompañante, mientras que el estudiante es el principal agente activo que propone, cuestiona, desarrolla, analiza y concluye a partir de la experiencia realizada.

¿Cómo se hizo el proyecto?

El proyecto se estructuró en dos partes: supuestos teóricos y diseño metodológico:

Supuestos teóricos
El uso de las nuevas tecnologías de la información y la comunicación TIC como herramienta para fomentar el aprendizaje, ha sido explorado en el campo de la educación de forma general y en particular en la educación matemática. Este enfoque suele usarse con frecuencia en las etapas de educación infantil y primaria, con el fin de motivar a los estudiantes a aprender y encontrar en su realidad la aplicación de las matemáticas, apoyando el desarrollo de su pensamiento de forma directa e indirecta a través de la experiencia.

Los supuestos teóricos relacionados con la aplicación de la hoja de trabajo aplicada son el pensamiento matemático, la resolución de problemas a través de la implementación de herramientas tecnológicas relacionadas con las nuevas tecnologías de la información y la comunicación TIC tal como el software de GeoGebra, el tablero digital Whiteboard, la tecnología digital en educación matemática y el material manipulativo (Hojas de papel, Moldes de figuras, Colbón, Tijeras, jarra medidora de un litro y plastilina), que sirvieron de soporte a la investigación.

Referentes teóricos

Pensamiento matemático.
El pensamiento matemático ha sido definido por muchos académicos como la capacidad que tiene una persona para interpretar información matemática relacionada con la vida diaria, aplicando diferentes patrones y algoritmos de forma estratégica para llegar a solucionar una situación. Según el NCTM (2004), el pensamiento matemático es un elemento importante en la preparación de los profesionales, técnicos u hombres y mujeres en sentido general. Esta afirmación es consecuencia del desarrollo de las TIC, por lo cual los sistemas educativos deben innovar su proceso de enseñanza y aprendizaje hasta el nivel necesario que atienda las necesidades de la sociedad actual teniendo en cuenta su contexto.

Resolución de problemas.
La resolución de problemas se define como una situación de aprendizaje que permite desequilibrar el conocimiento del estudiante, permitiéndole ejecutar una estrategia de solución directa o indirecta que puede ser a prueba y error. Según el NCTM (2010), en la resolución de problemas se incita al estudiante a reflejar su pensamiento de modo que pueda aplicar y adaptar estrategias que puedan transferir a otros problemas y en otros contextos, desarrollando la perseverancia y curiosidad por la actividad resolutora. En la geometría es muy importante analizar y aplicar estrategias que lleven a la resolución del problema planteado combinando la teoría con la experimentación y la facilidad que ofrece el software de GeoGebra para la validación de relaciones.

Herramientas tecnológicas en matemáticas
Las diferentes herramientas TIC con el paso del tiempo han permitido al profesor trabajar de forma didáctica y motivadora la geometría en el salón de clases. De acuerdo con el software elegido se encuentran distintos niveles, desde el más básico aumentando la dificultad a medida que avanza o permitiendo programar la dificultad de acuerdo con la tarea que se quiera desarrollar.

A continuación, se hará una breve descripción de los diferentes software y plataformas trabajadas en la hoja de trabajo desarrollada en esta investigación:

GeoGebra
Es un programa que permite dibujar diferentes formas geométricas, reconocer los elementos básicos y realizar transformaciones isométricas e isomórficas. Es muy interactiva puesto que permite al estudiante mover un punto de un lugar a otro y observar su trayectoria y cambio de coordenada; asimismo, dependiendo de la forma (figura) utilizada, esta se deformará o mantendrá sus características. (GeoGebra, 2021).

Microsoft Whiteboard
Es una pizarra digital que favorece la creatividad en la consecución de ideas dentro de un entorno colaborativo. El entorno de esta pizarra es muy similar al ofrecido por Paint, pero mucho más amigable y flexible con las creaciones que el estudiante desee realizar a mano alzada. Algunas herramientas que facilitan la construcción son: la regla dotada con un transportador, el lazo, el resaltador, entre otros que facilitan el aprendizaje y práctica de los conceptos básicos de la geometría y brindan diversión al estudiante durante su proceso. (Spataro, 2018).

Wordwall
Wordwall es una plataforma que permite crear actividades tanto interactivas como imprimibles a través de plantillas, permitiendo ser reproducidas en cualquier dispositivo con navegador web, como un ordenador, tableta, teléfono o pizarra interactiva. En esta, los estudiantes pueden jugar individualmente o guiados por el profesor, turnándose al frente de la clase; y los imprimibles pueden imprimirse directamente o descargarse como archivo PDF para ser utilizados como actividades interactivas independientes o para acompañar en equipo. (Wordwall, 2021).

GeoGebra y la Geometría
La enseñanza de la Geometría en el aula se ha vuelto dinámica gracias al uso del software GeoGebra y la programación didáctica, el cual permite la interacción del estudiante con los conceptos geométricos más básicos hasta los más avanzados, dando oportunidad a la construcción de su propio aprendizaje validando una a una sus acciones. Este software podría llamarse “herramienta de transformación educativa” para la enseñanza de la matemática, especialmente en la resolución de problemas, razonamiento y comunicación matemática.

¿Con qué materiales se ejecutó el proyecto?
En el proceso de esta investigación se utilizaron materiales didácticos digitales como lo es el software GeoGebra y materiales manipulativos como la plastilina, la regla y hojas de trabajo. El uso del material manipulativo permitió que los estudiantes interactuaran directamente con los cuerpos geométricos a partir de la construcción manual de prismas y pirámides, con el fin de tomar medidas, realizar cálculos y emitir conclusiones.

El software gratuito GeoGebra, al ser un programa para la creación de representaciones gráficas relacionadas con las matemáticas, permitió que tanto los profesores como los estudiantes construyeran representaciones gráficas en 3D para poder trabajar de una forma más dinámica la geometría, saliendo del modelo de enseñanza tradicional del 2D.

De igual manera, el trabajo con la herramienta web Wordwall (https://wordwall.net/es), permitió la creación y programación de juegos interactivos que motivaron a los estudiantes en el proceso de enseñanza y aprendizaje a través de nuevos retos que lograron generar desequilibrio cognitivo y les permitió establecer una conexión entre sus presaberes con los nuevos saberes obtenidos por medio de su experiencia.

¿Qué resultados se obtuvieron?
El estudio se realizó en dos fases, en primera se aplicó el aprendizaje tradicional con material manipulativo y en la segunda el uso de software GeoGebra, al terminar cada fase los estudiantes escribieron sus resultados en la hoja de trabajo diseñada en Microsoft Word, en ella contaron su experiencia y determinaron que el empleo de GeoGebra para la enseñanza de la matemática fue un ejercicio significativo para su aprendizaje.

De acuerdo con la experiencia realizada, se encontró que los estudiantes a pesar de su edad tuvieron la capacidad de generar conjeturas independientemente si estas eran acertadas o no. Un 60% de los estudiantes, a partir de la primera experimentación de material concreto, validaron la conjetura que habían propuesto inicialmente, comprobando su validez a medida que avanzaron en la tarea propuesta en el software de GeoGebra; paso a paso fueron descubriendo la relación que existe entre el volumen del prisma y el volumen de la pirámide, comprendiendo y asimilando las variaciones de la altura al mover el “deslizador” en el software y comprobar la relación.

Sin embargo, un 9,5% de los estudiantes no descubrieron la respuesta a la pregunta planteada a través del desarrollo de las dos fases de la hoja de trabajo y fue necesario hacer preguntas orientadoras que les permitieran replantear la hipótesis escrita y llegar al resultado esperado.

Es necesario resaltar que en esta actividad no se les facilitó ninguna fórmula a los estudiantes para el cálculo de volumen, de esta forma ellos mismos pudieron darse cuenta de la relación de 1 a 3 entre el volumen de un prisma con una pirámide. La mayoría de los estudiantes se mostraron muy asombrados ante sus logros, algunos se frustraron debido a que su hipótesis inicial no se cumplió y tuvieron que hacer varios cambios y pruebas numéricas que les permitieron encontrar la solución esperada.

¿Cuáles son las lecciones aprendidas?
En la primera fase en la que se aplicó el quiz de Wordwall, se evidenció que una minoría (9,5%) de los estudiantes de quinto primaria que participaron de la investigación, desconocían el concepto de volumen y las características de los sólidos geométricos como el prisma y la pirámide. Sin embargo, al aplicar la hoja de trabajo, siguiendo la secuencia didáctica planteada, el 52,38% de los estudiantes fueron capaces de descubrir la relación entre el volumen del prisma y la pirámide con la misma altura y base.

Tipo de estudio
En la siguiente investigación se dará un enfoque mixto a la recolección de datos de forma cuantitativa y cualitativa. En el procesamiento de datos cuantitativos se hará uso de la media, la desviación estándar, el coeficiente de variación y pruebas de hipótesis. Este enfoque permitirá dar a luz el comportamiento general de los estudiantes durante la secuencia diseñada.

En la Figura 1 se describen las fases que seguirá el estudio, estas fases fueron tomadas y adaptadas de Benítez (2006) de acuerdo con las necesidades y objetivos planteados:

Figura 1.
Fases de estudio

Tabla 1.
Test de entrada

Tabla 2.
Test de salida

Para producir los resultados altamente positivos en la construcción de conjeturas, fue necesario tener en cuenta: (a) un profesor con formación matemática y didáctica; (b) hojas de trabajo desarrolladas por estudiantes; (c) material didáctico (computadores, software dinámico y material manipulativo); y (d) una metodología de trabajo con un rol activo por parte del estudiante.

Los estudiantes participaron de forma activa durante la aplicación de la hoja de trabajo. Participaron en actividades como elaborar con material manipulativo un prisma y una pirámide para sumergirla en una jarra con agua y comprobar el principio de Arquímedes, asimismo experimentar en el entorno de GeoGebra a través de deslizadores la variación de la altura y el volumen para establecer conjeturas. La organización de situaciones contextualizadas de este tipo de actividades motiva a los estudiantes a ser constructores de su propio aprendizaje y les permite trabajar de forma colaborativa con sus pares.

Durante el proceso se emplearon diferentes registros de representación llamados representaciones semióticas, las cuales según Duval (2017) pueden ser visuales, tabulares y verbales. Estas ayudan a complementar los procesos de comprensión necesarios para ejecutar la tarea de medir, arrastrar, mover, recortar, pegar y visualizar la variación de la altura y la base del prisma y la pirámide con iguales medidas, permitiendo que el conocimiento matemático sea más palpable y que los descubrimientos a partir de esta experimentación sean significativos y perduren en los estudiantes.

La implementación de esta hoja de trabajo promovió la innovación didáctica en el aula en la enseñanza de la geometría en el cálculo del volumen, debido a que la propuesta de secuencia didáctica les permite a los estudiantes descubrir por sí mismos la relación del volumen entre el prisma y la pirámide, en la que el profesor solo proporciona preguntas orientadoras que lo llevan a evidenciar verdaderos procesos de validación y comprensión en los estudiantes.

De acuerdo con lo propuesto en esta investigación a través de la hoja de trabajo, encontramos que un ambiente de geometría dinámica es apropiado para la construcción de conjeturas desde la educación primaria, sin importar la complejidad del lenguaje matemático o de programación.

El desarrollo de esta clase de actividades les genera a los estudiantes curiosidad e interés, y les permite descubrir habilidades en sí mismos que no conocían. Los materiales tanto manipulativos como tecnológicos se convierten en herramientas de mediación, motivación y validación para la construcción de conocimiento matemático y desarrollo de competencias.

Los resultados de la aplicación de esta hoja de trabajo evidencian la importancia de un cambio en la forma en la que se enseñan y aprenden las matemáticas con sus diferentes ramas, promoviendo cambios de forma en el currículo del área, lo cual remite a revisar y estudiar contenidos que permitan desarrollar habilidades y competencias matemáticas desde la educación infantil.

Análisis cuantitativo
Se utilizaron indicadores estadísticos para el análisis de estos datos y así describir los resultados en la prueba diagnóstica. Para este análisis cuantitativo se categorizaron las respuestas en escala de la siguiente manera: 0 No sabe, 1 Respuesta incorrecta, 2 Respuesta correcta.

Tabla 3.
Resultados de la prueba diagnóstica

Las preguntas 1 a la 4, de la prueba diagnóstica, constituyen la sección principal de la secuencia didáctica ya que buscan que se identifiquen las características de los cuerpos geométricos, tales como lo son el número de aristas, sus caras y formas; en este caso específico las de un prisma y una pirámide. La pregunta 5 tiene el objetivo de conocer si los estudiantes identifican la vista superior de un sólido conformado por cubos y luego identificar la vista superior del prisma y la pirámide notando las diferencias cuando estos tienen la misma base.

Tabla 4.
Resultados de la prueba diagnóstica

El rendimiento promedio de los estudiantes fue de 8,85, que equivale al 88,5%. Por tratarse de temas básicos consideramos que el rendimiento fue bueno y esto evidencia que este tema durante su escolaridad tuvo un aprendizaje, pero que necesita pasar a ser significativo, esto lo evidencia el 11,5%. Así mismo se tuvo una baja dispersión equivalente al 5%.

Análisis cuantitativo global
La media de los estudiantes fue 8,85 lo que equivale al 88,5%. Este porcentaje nos confirma que existe un rendimiento global alto de los estudiantes y tenemos un coeficiente de variación del 5% del 88,5%, el cual es bajo y nos indica que tenemos un grupo homogéneo como se puede observar en la Figura 1.

Figura 1.
Resultados prueba diagnóstica

Podemos observar que a partir de la segunda pregunta los estudiantes obtuvieron mejores resultados, es decir, aumentó la cantidad de respuestas correctas; esto nos indica que han tenido un aprendizaje significativo de estos temas y que van llegando hacia la formalización del objeto matemático.

Análisis cualitativo
Las primeras preguntas trabajadas en la prueba diagnóstica son de selección múltiple, a través de estas se busca que los estudiantes identifiquen y reconozcan las propiedades del prisma y la pirámide, asimismo su respectivo volumen.

La pregunta 1. Observa la imagen y responde: ¿Cuántos vértices tiene el prisma hexagonal?

Figura 2.
Representación de la pregunta 1, prueba diagnóstica

Lo que se quiere lograr con esta pregunta es que los estudiantes identifiquen y reconozcan los vértices del prisma hexagonal a través de la visualización. A continuación, la distribución de respuesta:

Tabla 6.
Resultado de la pregunta 1, prueba diagnóstica

Con respecto a este resultado, se observa que todos los estudiantes respondieron la primera pregunta. En los resultados de esta pregunta observamos que el 70% de la población identifica de manera correcta los vértices del prisma hexagonal.

La pregunta 2. Todas son correctas excepto:
Imagen 3.
Representación de la pregunta 2, prueba diagnóstica

Esta pregunta de selección múltiple tiene la finalidad de identificar qué tan claro tiene el estudiante el concepto de pirámide, prisma y sus respectivas características. A continuación, la distribución de respuesta:

Tabla 7.
Resultado de la pregunta 2, prueba diagnóstica

Se puede evidenciar que el 65% de los estudiantes respondieron correctamente, eso quiere decir que 13 de 20 estudiantes identifican las características principales de la pirámide y el prisma. De igual forma se evidencia que el 30% se confundieron y no reconocieron las características de estas figuras geométricas, lo cual implica que casi la tercera parte de la población no maneja las características principales de la pirámide y el prisma, importantes para el cálculo del volumen.

La pregunta 3. ¿Cuál es la característica de los poliedros?
Imagen 4.
Representación de la pregunta 3, prueba diagnóstica

Esta pregunta es de selección múltiple, y se quiere lograr que el estudiante identifique por medio de la imagen la característica de las caras del prisma y la pirámide. En la siguiente Tabla se evidencia los siguientes resultados:

Tabla 8.
Resultados de la pregunta 3, prueba diagnóstica

Con este resultado se evidencia que solamente dos estudiantes tuvieron confusión con la pregunta, teniendo la creencia que los prismas están conformados con caras gruesas con volumen y no planas.

La pregunta 4. ¿Cuál es la figura que se ve al observar el cuerpo desde arriba?
Imagen 5.
Representación de la pregunta 4, prueba diagnóstica

Esta pregunta es de selección múltiple y tiene la finalidad de observar si el estudiante identifica los polígonos regulares que conforman los prismas y sus nombres de acuerdo con el número de lados que lo forman. En la siguiente Tabla se evidencian los resultados:

Tabla 9.
Resultados de la pregunta 4, prueba diagnóstica

Con este resultado se evidencia que el 20% de los estudiantes tuvieron confusión con la pregunta, en la cual confundieron la figura del hexágono con otras de menos lados, evidenciando falta de conocimiento sobre la clasificación de los polígonos de acuerdo con sus lados.

La pregunta 5. De acuerdo al sólido. ¿Cuál de las siguientes figuras representa la vista desde arriba del sólido?
Imagen 6.
Representación de la pregunta 5, prueba diagnóstica

Esta pregunta de selección múltiple busca que el estudiante identifique las figuras que conforman la vista del sólido presentado. En la siguiente Tabla se evidencian los resultados:

Tabla 10.
Resultados de la pregunta 5, prueba diagnóstica

Con este resultado se evidencia que el 80% de los estudiantes identificaron de forma correcta la vista superior del sólido compuesto presentado en la pregunta; y el 20% aún presenta confusión en la identificación de las vistas de un sólido compuesto.

Análisis cualitativo – Hoja de Trabajo

La Pregunta 1 ¿Cuál es la relación entre el volumen de un prisma y una pirámide con iguales dimensiones en su base y altura?

Esta pregunta busca que el estudiante realice conjeturas sobre el volumen en sólidos, específicamente los prismas y las pirámides, a partir de los presaberes que ha adquirido durante su proceso de formación relacionados con área y perímetro. La formulación de una hipótesis le permite al estudiante generar una explicación tentativa de un fenómeno, para que sea él mismo quien contraste su idea por medio de la observación, la literatura, la recolección y el análisis de datos. Es importante resaltar que en el contexto escolar de los estudiantes que participaron del estudio, tienen una preparación previa en el planteamiento de hipótesis y la forma de contrastarla. Para avalar esta pregunta como correcta se tiene en cuenta el planteamiento de la hipótesis con base en tres aspectos clave, la literatura, la relación de variables y la coherencia de la idea planteada.

Tabla 11.
Resultados de la pregunta 1, hoja de trabajo

Correcta	Incorrecta

En la muestra aplicada se evidenció que el 35% respondieron de forma correcta, mientras que en el 65% su respuesta fue incorrecta, es decir, no realizaron un óptimo planteamiento de la hipótesis.
Luego hallo el volumen de los sólidos geométricos construidos aplicando el principio de Arquímedes trabajado en clase.
Las vivencias prácticas en el aula de clase son parte esencial en el proceso de formación de los estudiantes, es por ello, que antes de interactuar con fórmulas, se presentó en forma de relato la teoría de Arquímedes a los estudiantes y se les brindó la oportunidad de determinar el volumen de una pirámide y un prisma construidos por ellos mismos con plastilina, a partir del líquido que desplazan al sumergirse en agua. En esta pregunta los estudiantes establecieron diferencias concretas entre el volumen de un prisma y una pirámide.

El porcentaje de respuestas incorrectas y no contestadas es de cero, sin embargo, es importante recalcar que, aunque el 100% de las respuestas son correctas, en la construcción de los prismas hay ligeras diferencias en el área de su base y la altura, por tanto, el estudiante puede establecer que el volumen del prisma es mayor al de la pirámide, pero no identifica completamente la relación de 1 a 3.

La Pregunta 2. ¿Qué pasa con el volumen de cada una de las figuras cuando cambia su altura?
Con el objetivo de que el estudiante establezca una relación entre el volumen de los poliedros con su altura, se brinda la oportunidad de interactuar con un aplicativo en GeoGebra donde visualice prismas y pirámides de igual base, en la que puede modificar su altura, permitiendo así que el estudiante infiera que la altura del poliedro es una variable que afecta considerablemente el volumen. Con esto se busca fortalecer habilidades cognitivas como la representación, comparación y la deducción.

Tabla 12.
Resultados de la pregunta 2, hoja de trabajo

Correctas
Incorrecta

Se evidenció que el 85% de los estudiantes contestaron de forma correcta y el 25% de forma incorrecta.
La Pregunta 3. ¿Hay algún cambio en el volumen de los poliedros, al cambiar la forma de la base, manteniendo la misma altura? ¿Por qué?

En esta ocasión se pide a los estudiantes fijar en el aplicativo de GeoGebra la altura de los poliedros y cambiar el número de lados de la base con el fin de que establezcan una relación entre el volumen de los sólidos y el área de su base. De igual forma que en la pregunta anterior, se busca desarrollar habilidades cognitivas de comprensión, comparación y representación.

Para avalar una respuesta como incorrecta se tuvo en cuenta la coherencia en la idea y la capacidad de relacionar las variables (área, altura y volumen), se encontró que el 100% respondieron de forma correcta.

Tabla 13.
Resultados de la pregunta 3, Hoja de trabajo

Correcta

La Pregunta 4. ¿En algún momento al jugar en la aplicación, el volumen de la pirámide superó el volumen del prisma?
En esta pregunta el estudiante realiza un comparativo numérico entre el volumen del prisma y pirámide con las mismas características (base y altura) con el objetivo de que infiera por qué el volumen de la pirámide es siempre menor que el del prisma. El 85% de los niños lograron hacer inferencia de orden superior y concluir acertadamente en los factores que hacen que el prisma con base y altura igual a una pirámide tenga siempre un mayor volumen, sin embargo, un 25% de los estudiantes no encontró ninguna diferencia entre el volumen del prisma y la pirámide.

Tabla 14.
Resultados de la pregunta 4, hoja de trabajo

Correctas
Incorrectas

Construyo una tabla que me permita encontrar una relación entre el volumen de un prisma y una pirámide, teniendo en cuenta lo trabajado en GeoGebra en el punto 4.
Esta pregunta le permite al estudiante organizar la información recolectada en la práctica con el aplicativo de GeoGebra, el cual haciendo uso de su capacidad de observación y análisis logre inferir la relación de 3 a 1 que existe entre el volumen de un prisma y una pirámide. El 100% de los estudiantes respondió correctamente esta pregunta, sin embargo, algunos fueron más arriesgados al variar los parámetros de base y altura al mismo tiempo, mientras que otros fueron más precavidos manteniendo un parámetro fijo, permitiéndoles así establecer conjeturas más acertadas. En esta pregunta de la guía el 100% de los estudiantes logró inferir la relación entre el volumen del prisma y la pirámide con éxito.


Escribo los cambios que se están presentando en los valores de los volúmenes al modificar características como la base y la altura.
Esta pregunta busca que el estudiante establezca conclusiones a partir de las actividades y preguntas propuestas a lo largo de la guía de trabajo, en ella el estudiante debe sintetizar la mayor cantidad de información recolectada y expresar los hallazgos encontrados en el proceso de observación en el aplicativo de GeoGebra. Para la valoración de esta pregunta se tiene en cuenta la profundidad en la respuesta de los estudiantes y la validez de las conclusiones emitidas.
El 100% de los estudiantes contestaron de forma correcta ya que lograron establecer relaciones entre la altura, la base y el volumen de un poliedro, así como la diferencia entre el volumen de un prisma y una pirámide.

Correcta

La Pregunta 5. Verifico la validez de mi hipótesis a partir del siguiente juego en GeoGebra (https://www.geogebra.org/m/bnuqauta) planteo un ejemplo que permita responder la pregunta inicial.

Para concluir con éxito una experiencia de laboratorio como la que se plantea en esta guía, al finalizar la actividad, el estudiante debe tener la capacidad de evaluar su hipótesis y determinar la veracidad de la misma, argumentando su posición en los conceptos abordados. Para esto es importante que el estudiante tenga una preparación previa en la contratación de hipótesis.
En este numeral el 85% respondió correctamente, de tal forma que contrastó su hipótesis con el desarrollo de la práctica y concluyó su veracidad, mientras que el 25% no logró validar su hipótesis de forma correcta puesto que no estableció una idea coherente que relacione los elementos abordados en la experiencia.

Correcta
Incorrecta

Referencias
Colegio San Pedro Claver. (2020). Plan Integrado del Área de Matemáticas (PIA). Colegio San Pedro Claver.
Duval, R. (2017). Semiosis y pensamiento humano. Registros semióticos y aprendizajes intelectuales. Universidad del Valle, Colombia.
GeoGebra. (2021). ¿Qué es GeoGebra? Obtenido de https://www.geogebra.org/about
NATIONAL COUNCIL OF TEACHERS OF MATHEMATICS. (2010). Principles and Standards for School Mathematics. (1. ed.). Obtenido de ctm@nctm.org
Spataro, J. (2018). Microsoft Whiteboard ahora está disponible para Windows de forma generalizada. Obtenido de Blog de Office 365: https://techcommunity.microsoft.com/t5/office-365-blog/microsoft-whiteboard-is-now-generally-available-for-windows/ba-p/214574

ANEXOS
Anexo 1: Prueba de Entrada (Quiz Wordwall)

Anexo 2: Hoja de Trabajo N0.1



Anexo C: Actividades de GeoGebra
(https://www.geogebra.org/m/hvetcyn6)

Anexo D: Padlet “Cuerpos geométricos”
(https://padlet.com/germanvelasco/67q5uz77gn24hbhm)

 
Resumen
El objetivo es presentar una propuesta de intervención que fortalezca la interpretación de la fracción como medida y parte del todo, además de documentar las conjeturas que realizan los estudiantes de cuarto grado de primaria de la Institución Educativa Técnica Ambiental Sagrada Familia Potrerillo, de la ciudad de Palmira, ubicada en zona rural. El interés que anima a las investigadoras sobre este contenido se debe a que es uno de los temas cuya importancia queda más que justificada por el hecho de que se comienza a impartir durante la básica primaria hasta los años que dura la básica secundaria, y que, sin embargo, a pesar de todo el tiempo que se le dedica, sigue generando confusión y rechazo por parte de los estudiantes.

Es por esto que se presentará una propuesta que consiga motivarlos y que despierte en ellos el gusto y la curiosidad por el mundo de las Matemáticas, en un ambiente de análisis de situaciones donde se promueve el uso de software dinámico GeoGebra, material manipulativo, la comunicación de ideas por las vías oral y escrita, y las posibles soluciones de ejercicios.

Se trabajó para alcanzar esa motivación que dé lugar a un interés y a un esfuerzo por parte del estudiante que a su vez permita que este logre y obtenga unos resultados satisfactorios tanto a nivel académico como personal. En este ámbito, se debe tener siempre presente la importancia de las Matemáticas como elemento de la cultura, buscando aplicaciones de las fracciones en la vida cotidiana, así como materiales y formas de enseñanza novedosas que capten la atención de los estudiantes.

Un elemento muy importante va a ser el empleo de herramientas tecnológicas como GeoGebra, que facilita la construcción de conocimiento por parte del estudiante y favorece el aprendizaje autónomo. En el trabajo se analizaron tanto las actividades de aprendizaje como el rol del profesor y las estrategias utilizadas por los estudiantes que los llevaron a la formulación de conjeturas sobre la interpretación de la fracción. Los resultados revelaron que los estudiantes, a temprana edad, pueden hacer conjeturas dentro de un ambiente propicio y la exploración con instrumentos de mediación tecnológica como software GeoGebra.

¿En dónde se hizo el proyecto y las características de la población?
La Institución Educativa Técnica Ambiental Sagrada Familia Potrerillo se encuentra ubicada en las comunas 14, 15 y 16, en la ladera y zona oriental montañosa del municipio de Palmira, Valle del Cauca; es la institución más grande, en términos geográficos del municipio, ya que la conforman 11 sedes que están ubicadas en los corregimientos de Potrerillo, La Quisquina, Calucé, Tenjo, La María, La nevera, Juntas la florida y la Zapata.

La institución tiene un enfoque ambiental dado que se encuentra sobre la cuenca hidrográfica del río Nima que abastece de agua potable a la ciudad de Palmira y además se encuentra a 39 Km del Parque Nacional Natural Las Hermosas Gloria Valencia de Castaño, siendo el páramo de mayor biodiversidad para Colombia.

Figura 1.

Tomada de: Olmue de Colombia, 2017.

Figura 2.

Tomada de: Google Maps, 2017.

Estos importantes aspectos geográficos permiten que el enfoque de la institución sea ambiental desde el 2011 y actualmente ofrezca un bachiller con modalidad técnico ambiental a la comunidad desde el 2020. Además, para la media se cuenta con la articulación del SENA con un técnico en conservación.

La institución cuenta con 742 estudiantes, de los cuales 441 estudian en la sede central jornadas mañana y tarde, que atiende estudiantes del corregimiento de Potrerillo, Tienda Nueva, Quisquina, Calucé, Tenjo y sus veredas (Tambos, La María, La Lorena). Esta sede tiene metodología escuela graduada, sin embargo, en 9 sedes que están en la zona alta se trabaja con metodología flexible y en básica secundaria con post primaria por lo cual los grupos tienen modalidad multigrado. Lo anterior es muy enriquecedor y todo un desafío para los docentes de esta institución, dado que se hace necesario colocar a conversar las diferentes metodologías bajo el modelo pedagógico institucional dialógico, también hay jornada nocturna que ha permitido a la población adulta acceder a la escuela y vincularse a los procesos académicos y culturales de la región.

Figura 3.

En el corregimiento de Potrerillo, comuna 16, se encuentran la sede Sagrada Familia Potrerillo, con jornadas diurnas, tarde y nocturna, con servicios de educación a nivel básico primario, básico secundario, media técnica y educación para adultos. Potrerillo está a una altitud de 1.250 m.s.n.m., con un clima cálido y una temperatura promedio de 23°C. Se encuentra aproximadamente a 12,5 km de distancia de la cabecera municipal; la zona está atravesada por la cordillera Central, la cual ofrece una gran riqueza en recursos hídricos y tierras fértiles para la región.

La comunidad educativa se clasifica con un estrato socioeconómico 1 y 2 de diferentes etnias, con padres de familia dedicados a la agricultura, pecuarias, avícolas, porcicultura de manera independiente. Otro grupo se dedica al cuidado de fincas, laboran en empresas privadas del sector textil, viveros, manejo de lácteos, etc. Oficios varios y empleos de la economía informal.

La sede central hace presencia gubernamental en el corregimiento como el lugar que ofrece el principal espacio de cultura y educación a la comunidad, brindando la posibilidad de alfabetización tanto a los niños, jóvenes y adultos. Por iniciativas propias de algunos habitantes, la comunidad cuenta con un programa de escuela de formación de fútbol y una escuela de taekwondo que ayuda a mitigar problemas psicosociales y beneficia la buena utilización del tiempo libre.

Potrerillo cuenta con gas domiciliario, servicio de agua, energía y conectividad a internet muy débil. Sin embargo, el servicio de agua en temporada de invierno presenta falencias por los deslizamientos dado que se obstruye la tubería, además en el último día del mes quitan dicha asistencia para hacer mantenimiento a los tanques.

La sede Pedro de Heredia está ubicada en la zona montañosa de la ciudad de Palmira, en la vereda la Quisquina, comuna 16, con jornadas diurna y nocturna, con servicios de educación con modelo de escuela nueva (primaria), post primaria, educación para adultos.

Figura 4.

La Quisquina está a una latitud de 3°24´28” norte y longitud 76°12’3”, altitud 1177 metros (3862 pies) con un clima cálido y una temperatura promedio de 21°C. La precipitación es de 2.8 mm. Por la noche presenta lluvia ligera. La temperatura mínima es de 17°C.

La sede se encuentra a unos 45 minutos de distancia de la cabecera municipal. La ubicación geográfica de la vereda es:
Límites:

• Al norte: con la quebrada Los Chorros, Santa Teresa, alta Bolivia y parte de Betania.
• Al sur: quebrada Los Robles y Los Cuchos.
• Al oriente: Las Peñas, Las Palmas y la parte alta de Monserrate.
• Al occidente: toda la colina o loma que bordea el filo del amor.
• Al norte: el conocido sitio de El Morro.

¿Qué se hizo y por qué?
Este trabajo se enmarca en el área de desarrollo del pensamiento numérico. Específicamente, se reportan los tipos de creencias sobre el concepto de fracción y las conjeturas que construyen los estudiantes de cuarto grado de primaria, de la IE Técnica Ambiental Sagrada Familia Potrerillo de la zona rural de Palmira, en un ambiente de solución de problemas que favorezca el desarrollo de la competencia comunicativa, tanto oral como escrita, donde se promueve el uso de GeoGebra, material simbólico y la guía de aprendizaje que presenta actividades para pintar y completar.

La docente presenta los objetivos de aprendizaje y rúbrica de evaluación, resaltando la importancia de las fracciones en la vida diaria. Luego proyecta un video para contextualizar el abordaje de las situaciones, con el fin de motivar a los estudiantes y recoger algunas ideas previas. El objetivo de esta actividad con el video no es dar solución al problema presentado, sino que los estudiantes conversen con sus compañeros sobre cuáles son los elementos matemáticos que se abordan allí.

La docente les cuenta a los estudiantes que existen muchos significados de la fracción y por medio de actividades impresas, simbólicas, de medida, videos, busca acercarse a la comprensión del concepto de fracción como medida y como parte del todo. Finalmente, se realiza una práctica mediada por el uso de tecnologías digitales, uso de la aplicación GeoGebra, donde los estudiantes podrán conjeturar sobre el concepto de fracción a partir del abordaje de preguntas, la manipulación de los deslizadores, la comunicación oral y escrita.

¿Cómo se hizo el proyecto?
El proyecto se estructuró en dos partes: supuestos teóricos y diseño metodológico.

Supuestos teóricos
Los supuestos teóricos −desarrollo de competencias, resolución de problemas de matemáticas, tecnología digital en educación matemática y material manipulativo− que sirvieron de soporte a la indagación se describen a continuación:

Desarrollo de competencias. El pensamiento matemático es la capacidad que nos permite entender, aprehender, argumentar y reflexionar las relaciones que se dan en el mundo circundante, es decir, razonar, crear y saber utilizar estas habilidades para desenvolvernos en la sociedad.

Saldaña (2012) lo define como “parte de un ambiente científico en el cual los conceptos y las técnicas matemáticas surgen y se desarrollan en la resolución de tareas”. Con lo anterior se puede desarrollar la capacidad de matematizar el conocimiento en el aula y en el entorno cotidiano.

Con lo anterior se puede desarrollar la capacidad de matematizar el conocimiento en el aula y en el entorno cotidiano.

La competencia matemática es la capacidad del individuo para identificar y entender la función que desempeñan las matemáticas en el mundo, emitir juicios fundados, aplicarlos y relacionarse con las necesidades de la vida de los individuos como ciudadanos constructivos, comprometidos y reflexivos. (OCDE, 2006, p. 74).

Los conceptos matemáticos que más dificultad presentan en el proceso de enseñanza aprendizaje en la educación básica corresponden al de las fracciones, se debe tener en cuenta que este es un concepto abstracto, lo cual dificulta que los estudiantes lo interioricen.

Resolución de problemas. Schoenfeld (1985) realizó varios estudios con los alumnos y matemáticos profesionales. En todos ellos encontró evidencias para afirmar que existen cuatro dimensiones que influyen en el proceso de resolución de problemas: (a) estrategias cognitivas, (b) dominio del conocimiento, (c) estrategias metacognitivas y (d) sistema de creencias.

Desde la experiencia en el aula se tienen situaciones concretas para primaria ilustradas en el libro Experiencias significativas en educación matemática. Universidad Icesi (2021) describe un trabajo que cuenta el proceso de construcción de conjeturas geométricas de niños de cuarto de primaria de una institución educativa pública de Cali-Colombia a partir de una intervención pedagógica con ambientes escolares que propicien la solución de problemas, promuevan el uso de software dinámico y material manipulativo. Los estudiantes a edad temprana pueden formular conjeturas geométricas sobre propiedades de los triángulos, mediante la exploración con instrumentos de mediación como el software GeoGebra que estimulan su participación activa.

Otro trabajo realizado con estudiantes del grado tercero de un colegio privado de la Ciudad de Cali-Colombia describe la experiencia de elaboración del diseño de las cajas para crispetas donde identificaron, verificaron y reconocieron las propiedades geométricas de los cuadriláteros como el paralelogramo cuadrado y el trapecio isósceles en un ambiente de aprendizaje mediado por el software dinámico GeoGebra. Luego realizaron la construcción de dichas figuras con material concreto, siendo empleadas en la elaboración del diseño del recipiente. En esta experiencia significativa desarrollada en el marco del Aprendizaje Basado en Proyectos (ABP), mediada por tecnología, los estudiantes logran mejorar ampliamente los problemas de heterogeneidad en el aprendizaje en materia de relaciones de paralelismo y perpendicularidad, entre segmentos de recta, identificar ángulos y verificar la congruencia entre segmentos.

Estrategias cognitivas. Son métodos heurísticos o técnicas para el avance en el proceso de solución, tales como descomponer el problema en casos especiales, invertir el problema, establecer subtemas y relajar las condiciones, entre otras. Las heurísticas son acciones que pueden ser de utilidad para resolver problemas. Pólya (1965) plantea solución a las heurísticas por medio de preguntas y sugerencias que se realiza en un abordaje ideal. Las siguientes son algunas de ellas: ¿Pueden pensar en un problema similar, un tanto más sencillo? ¿Pueden enunciar el problema en forma diferente? ¿De qué manera se pueden cambiar los datos o las condiciones en las que está redactado el problema?

Dominio del conocimiento. Una cualidad relevante en el desempeño de un abordaje exitoso de problemas es el desarrollo de una base amplia de conocimientos de matemáticas. En esta dimensión se estudian los recursos matemáticos con los que cuenta el estudiante para la resolución de un problema. Aquí se pueden elaborar preguntas que sirven de base para esclarecer las características de la dimensión: ¿Cuáles son las herramientas que se tiene a disposición? ¿Qué información relevante tiene a mano para resolver la situación problemática? ¿Cómo accede a esa información y cómo la utiliza?

Estrategias metacognitivas. En el curso de una actividad intelectual, el análisis de la marcha del proceso desempeña un papel central. El monitoreo y el control del progreso de la solución son componentes de la metacognición. Este tipo de estrategias se refiere a las decisiones globales respecto al entendimiento del problema y a la selección e implementación de recursos y estrategias; también incluye acciones como planear, evaluar y decidir.

Sistema de creencias. Generalmente, los estudiantes tienen un conjunto de creencias acerca de lo que significa hacer matemáticas y sus objetos específicos. Es conveniente hacer la siguiente reflexión: ¿Cómo afectan tales creencias el desempeño de los alumnos en la resolución de problemas? En esta dimensión se ubican las creencias que el individuo tiene de las matemáticas y de sí mismo. Las creencias determinan la manera como aborda una persona el problema; por ejemplo, las técnicas que emplea o evita, y el tiempo que le dedica al estudio. De lo anterior se puede afirmar que “las creencias establecen el marco bajo el cual se utilizan los recursos, las heurísticas y el control” (Schoenfeld, 1985, p. 45).

Tecnologías digitales en educación matemática. El uso de la tecnología, en actividades de aprendizaje, viene dándose hace muchos años. Sin embargo, su incorporación a los sistemas escolares es mucho más reciente y aún más lo son los estudios y evaluaciones que dan cuenta de los resultados de ese proceso. Desde esta perspectiva, es pertinente emprender trabajos de investigación que documenten los efectos que genera el empleo de la tecnología en la resolución de problemas de matemáticas y en la construcción de conjeturas.

En muchas actividades humanas utilizamos instrumentos tecnológicos: los dispositivos móviles, como las tabletas o los teléfonos inteligentes, son vehículos no solo para interactuar entre individuos, sino también para buscar información en línea, comprar algún producto o para realizar una consulta médica.

Las Instituciones Educativas deben promover un aprendizaje que considere los cambios culturales y sociales que se desarrollan en el contexto mundial. Hoy en día el uso de un dispositivo móvil abre oportunidades a particulares de obtener recursos al ofrecer servicios como rentar una habitación en su casa o compartir un vehículo. Además, algún dispositivo le mostrará en un monitor, visible en la sala o la cocina, las actividades que el individuo tiene planeadas para el día o la semana. También tendrá información disponible sobre su presión sanguínea, lípidos o nivel de glucosa de manera inmediata. Estos escenarios resumidos dan cuenta del tipo de actividades que las tecnologías digitales pondrán realizar y que, en consecuencia, generarán una manera distinta de interactuar en la sociedad. Así, se vislumbra una transformación en las formas de realizar tareas rutinarias y una necesidad por ajustar las estructuras de las instituciones encargadas de la formación académica y cultural de los individuos. En términos generales, el uso sistemático y coordinado de diferentes tecnologías debe ayudar a los estudiantes a desarrollar formas de pensar que resulten importantes en la formulación de preguntas y la resolución de problemas. En síntesis, los instrumentos mediados por la tecnología amplifican el dominio de recursos y habilidades y nos ayudan a resolver problemas de manera diferente a la utilizada en el universo del lápiz y el papel.

A través de dichos instrumentos podemos conocer maneras que no eran posibles en ausencia de ellos. Por ejemplo, un biólogo que utiliza un microscopio electrónico tiene acceso a un nivel de observaciones y de conocimiento que le era inaccesible sin el instrumento. Algo similar ocurre con el telescopio del astrónomo y con el computador del matemático que construye conjeturas con el apoyo de este instrumento. Desde esta perspectiva, la construcción de conocimiento está mediada por el instrumento tecnológico.

Se tienen indicios para pensar que cuando se trabaja con la ayuda de las herramientas tecnológicas en la solución de un problema de matemáticas, algunos componentes del pensamiento matemático se ejecutan de manera distinta de cuando el problema se resuelve únicamente con lápiz y papel. En la experiencia de resolver problemas con la ayuda de GeoGebra, los estudiantes pueden desarrollar procesos del pensamiento numérico para particularizar, visualizar, explorar los objetos, construir patrones, predecir y conjeturar, a través de varias acciones como uso de deslizadores, botones, actividades auto evaluables y la utilización de diferentes registros de representación.

GeoGebra es un software de Geometría Dinámica interactivo libre, como un micromundo computacional. Esto quiere decir que este instrumento de mediación tiene un conjunto de objetos con relaciones que permite realizar operaciones y contiene una serie de fenómenos, como el arrastre, el movimiento, los lugares geométricos, el uso de diversas representaciones semióticas y la realización de macro construcciones. Con este instrumento de mediación se pueden ejecutar varias acciones cognitivas, como visualización, experimentación, sorpresa y retroalimentación.

• Visualización. El ambiente de geometría dinámica les permite a los estudiantes construir figuras con ciertas propiedades, visualizarlas y transformarlas. Dicho proceso contribuye a desarrollar el hábito de transformar los casos particulares, para buscar visualmente las variantes e invariantes de la construcción y la justificación formal de las conjeturas.
• Experimentación. Además de la visualización, el software dinámico ayuda a los estudiantes a experimentar, por medio de la construcción de casos particulares, para explorar casos adversos y situaciones extremas. En dichos ejemplos, los alumnos pueden medir, comparar y hacer trazos auxiliares. La información obtenida en la experimentación puede ayudar a construir conjeturas.
• Sorpresa. Una actividad que puede resultar significativa para acompañar la investigación, es pedirles a los estudiantes que hagan predicciones sobre el resultado de cierto fenómeno que están a punto de abordar. Al realizar dichas predicciones, se hacen explícitas varias de ellas, las cuales permiten que los alumnos: (a) expresen sus predicciones con claridad, (b) tengan cuidado al construir sus propias predicciones, y (c) creen expectativas y motivaciones para la experimentación real. En la experimentación, los estudiantes pueden encontrar situaciones que contradigan sus predicciones.
• Retroalimentación. La sorpresa puede entenderse como una retroalimentación, en la cual, los alumnos pueden diferenciar entre una expectativa de cierta acción y el resultado de esa acción. En esta fase pueden aparecer nuevas predicciones y se abre la necesidad de hacer una demostración formal.

Material manipulativo. Los materiales manipulativos son elementos claves para fortalecer el aprendizaje del estudiante, a su vez que aprenderá a no solo ser receptor de conocimiento sino elevar la calidad educativa, mejorando así el rendimiento académico y la capacidad de entendimiento.

Los materiales manipulativos matemáticos, según Bartolini Bussi y Martignone (2014), son artefactos empleados en la educación matemática, que pueden ser utilizados por las manos de los estudiantes para explorar, adquirir o investigar conceptos o procesos matemáticos y realizar tareas o actividades de resolución de problemas, fundamentándose en evidencia perceptual (visual, táctil o, más generalmente, sensorial).

Flores, P. y Lupiáñez, J.L. (2011) argumentan que para aprender hay que “hacer” y los materiales concretos y recursos permiten que el estudiante haga. La enseñanza que utiliza materiales didácticos tiene que cambiar la disposición en el aula, convertirla en taller o laboratorio de Matemáticas, con mayor protagonismo de la enseñanza directa, en la que el estudiante desarrolla conocimientos a partir de su trabajo con materiales.

El uso de los materiales manipulativos y simbólicos, como acercarse a la medida de un artefacto a través del doblez o recorte de una tira, colorear, completar; les permite a los estudiantes realizar actividades concretas en el aprendizaje del concepto de fracción, como, por ejemplo, construir, diseñar, dibujar, colorear, doblar, estimar medidas, pensar, crear y visualizar. Todas estas actividades generan la posibilidad de que el estudiante tenga una experiencia perceptual concreta y tangible. Estas experiencias iniciales se pueden convertir en insumos para la construcción de conjeturas.

Diseño metodológico
En esta sección se exponen los pasos que se siguieron durante el desarrollo de la indagación en las diferentes fases: diseño, validación, uso de tecnología, recolección y análisis de resultados. Las fases implementadas fueron las sugeridas en la tesis doctoral de Benítez (2006). Las actividades importantes en cada fase se presentan de forma sintética en la Figura 1. Luego se hace una descripción particularizada de cada actividad.

Figura 5..
Fases del estudio

Diseño. En esta fase se exponen tres momentos: el primero consiste en la selección de actividades o problemas, los cuales serán estructurados a la luz de los estándares básicos de competencia en matemática propuestos por el Ministerio de Educación Nacional (MEN, 2017), para el grado cuarto de primaria. Lo anterior posibilita el diseño de la prueba diagnóstica y las hojas de trabajo, lo que se consolida en un segundo y tercer momento.

Validación. Una vez diseñadas las pruebas diagnósticas y las hojas de trabajo con asesoría permanente del equipo del instituto GeoGebra, Cali, se presentaron las siguientes instancias: (a) revisión del asesor del proyecto y (b) retroalimentación a los avances y las correcciones respectivas.

Recolección. Se utilizaron las pruebas diagnósticas como instrumento de recolección de los saberes previos y/o creencias que tenían los estudiantes sobre el concepto de fracción. En dicha prueba había preguntas de selección, pero también había preguntas donde podían pintar, escribir y comunicar lo que entendían sobre una situación que involucraba fracciones.

Uso de tecnología. Consiste en exponer a los estudiantes algunas instrucciones sobre el manejo de GeoGebra, siguiendo a Benítez (2006). En esta fase se implementaron las siguientes acciones: (a) una descripción global del software, y (b) un taller de manejo del mismo, usando la vista gráfica, uso de deslizadores para el análisis de problemas relacionados con fracciones.

Descripción global del software: Se mostraron las características más importantes de GeoGebra, las funciones, los comandos principales y la forma de operarlos con relación a la vista gráfica y los objetos.

Recolección definitiva de datos. Se utilizaron las actividades con material concreto y simbólico como pintar, completar y las hojas de trabajo como instrumento de recolección, el cual abarcaba diferentes preguntas con un espacio suficiente para que los estudiantes comunicaran sus ideas por escrito. En el taller inicial se evidenció que los estudiantes entienden que fracción es repartir, pero sin tener un patrón que respetar, por ejemplo, que todas las partes sean iguales, relacionan el término de fracción con operaciones como suma, resta y multiplicación sin saber qué realizar con ello, también relacionan la fracción con una serie de números. Sin embargo, a medida que se fue avanzando e implementando cuestionamientos en contextos realistas e hipotéticos mediados por material concreto y el software de GeoGebra, se puede comprobar la capacidad que tienen los estudiantes para conjeturar, a pesar de su corta edad.

Durante la puesta en escena de las hojas de trabajo sobresalieron tres etapas: (a) trabajo individual, (b) acompañamiento de la docente y (c) reformulación de contextos.

• Trabajo individual. En esta etapa, el estudiante se confronta al problema de manera individual con apoyo del docente.
• Acompañamiento de la docente. En esta etapa, la intervención de la docente es para formular cuestionamientos y brindar sugerencias que permitan al estudiante aproximarse a la solución del problema.
• Reformulación de contextos. Este espacio le brinda la oportunidad al estudiante a enfrentarse a problemas parecidos, pero en diferentes contextos; es decir, que sea capaz de sostener un vínculo con el problema original, pero cambiando algunas características que le posibiliten comprender la situación y/o explorar nuevos dominios.

El procesamiento de la información. Luego de haber recogido la información, se procedió a archivarla de forma física y electrónica. Se realizaron archivos con las pruebas diagnósticas contestadas tanto en formularios de Google como de manera física. Una vez guardados los archivos, se procedió a elaborar las tablas y las gráficas, según las categorías de análisis. En lo cuantitativo, se emplearon las siguientes categorías: correcto, incorrecto y no contestó, y a partir de ahí se obtuvo el coeficiente de variación, donde se evidenció una dispersión alta en el concepto de fracción por parte de los estudiantes.

Las hojas de trabajo. Las actividades se realizaron de manera oral y escrita durante las clases, los estudiantes trabajaron con el material concreto y simbólico: recortando, pintando, saliendo al tablero y dejando evidencia escrita en el cuaderno y/o hoja de trabajo, con relación a la mediación tecnológica a medida que la profesora les mostraba el aplicativo GeoGebra con las actividades, ellos iban comunicando sus resultados, observaciones y haciendo conjeturas respecto a lo que se les preguntaba. Se realizó de esa manera porque los estudiantes no tienen equipos para bajar la aplicación, sin embargo, es interesante porque se da un aprendizaje colaborativo y de participación.

Análisis de resultados. Una vez recogida la información, se procedió a analizarla, con base en los desarrollos cualitativos y cuantitativos. Por otro lado, se pudo evaluar el impacto de las actividades propuestas a los participantes bajo está intervención.

Esta fase del estudio se efectuó con base en los referentes planteados al inicio de la propuesta, con lo que se esperaba constatar que, en el marco de la resolución de problemas, el uso de material manipulativo y de tecnología digital juegan un papel preponderante al interior del aula de clase, puesto que posibilitan el progreso de la capacidad del estudiante para construir conjeturas.

¿Con qué materiales se ejecutó el proyecto?
Para la ejecución del proyecto, en el ámbito de la resolución de problemas, se utilizaron tres clases de materiales: (a) el software GeoGebra, (b) material simbólico como la hoja de trabajo, videos (c) los materiales concretos, tales como recortes de tiras para medir y las cuartas de las manos para medir. (d) Rúbricas y (e) Auto-evaluación y co-evaluación.

GeoGebra
Es un software libre y gratuito, creado por Hohenwarter et al. (2008), que combina la geometría y la estructura de los sistemas algebráicos, lo cual permite potencializar conceptos matemáticos desde los primeros años de escuela hasta los grados universitarios, si se desea.

Material Simbólico
La hoja de trabajo es un material con que contaron todos los estudiantes y ahí se plantean actividades de pintar, completar, recortar y también sirve de apoyo para los registros de los ejercicios que tengan que ver con responder las preguntas que van acompañadas del aplicativo GeoGebra. También están los videos de apoyo y de acercamiento a la comprensión del concepto de fracción.

Material Concreto
Realizar recortes de tiras de dos tamaños diferentes para medir un celular, también utilizar las cuartas de las manos para medir objetos del salón; que es una excelente manera de desarrollar la creatividad y de acercarse al concepto de fracción tanto por el lado de la medida, como de la geometría y los números. Proponer este tipo de ejercicios a los estudiantes, desarrolla capacidades lógicas como la planificación, la relación causa-efecto, y el uso de cuerpo para acercarse al conocimiento. Lo que promueve un ambiente para que el estudiante construya significamente el conocimiento a partir de su experiencia y en comunicación con el otro desarrollando habilidades cognitivas y procedimentales relacionadas con el modelo pedagógico dialógico de la institución educativa.

Rúbrica
La evaluación es un proceso continuo, sistemático y complejo de toma de datos sobre el estado del desarrollo de aprendizaje de los estudiantes, con devoluciones oportunas para la mejora en su nivel de desempeño (Tobón, 2017). La rúbrica es una herramienta que apoya el proceso de diagnosticar el estado del aprendizaje de un estudiante, de acuerdo a indicadores de desempeño, para apoyarlos con sugerencias que permitan la mejora de dichos desempeños, emitir juicios y tomar decisiones. Para esta práctica tomaremos la rúbrica sobre comunicación de ideas matemáticas que propuso el profesor Benítez:

Autoevaluación
La autoevaluación es un método que consiste en el proceso mediante el cual una persona se evalúa a sí misma, es decir, identifica y pondera su desempeño en el cumplimiento de una determinada tarea o actividad, o en el modo de manejar una situación.

Para llevarse a cabo, la autoevaluación requiere de un proceso de introspección en el que un sujeto identifica las áreas de fortaleza y las áreas de mejora.

Coevaluación
Es el proceso intermedio formativo, donde se le da la oportuna a los coequiperos y/o pares de evaluar al compañero.

¿Qué resultados se obtuvieron?
La línea base
En esta sección se describen las características de un estudio diagnóstico y se presentan los principales resultados.

La línea de base se establece a partir de la aplicación inicial a los estudiantes del grado cuarto de primaria, de un test de entrada que consta de 13 preguntas, de estas, ocho eran de selección múltiple, dos para completar, dos de carácter abierto y una para colorear (Anexo A), las cuales se compilaron en los siguientes grupos de análisis:

• Concepciones: Las preguntas 1, 2 y 10 indagaron sobre las concepciones que tuvieron los estudiantes sobre fracción: qué entienden, cuándo se utiliza, cómo se representa numéricamente una situación con fracciones.
• Percepción: Las preguntas 7, 8, 9 y 13 comprendían la percepción que tuvieron los estudiantes de las diferentes formas gráficas de representación de una fracción y la percepción del concepto de unidad. Lo que se pretendía con este interrogante era examinar el impacto que tiene las diferentes representaciones de la unidad y el concepto de unidad misma en la toma de decisiones para la resolución de problemas.
• Manejo de recursos: Las preguntas 3, 4, 5, 6, 11 y 12 correspondían al grupo de cuestionamientos relacionados con representación numérica de una fracción, identificación de partes de una fracción, abordaje de situaciones problema e interpretación gráfica de una fracción. En este bloque de preguntas se trataba de analizar si los estudiantes identificaban o no fracciones y podían resolver problemas a partir de interpretaciones gráficas y/o análisis.

Objetivos

• Analizar los conceptos que tienen los alumnos alrededor de las fracciones y algunos de sus elementos (Conceptualización).
• Estudiar el impacto que tiene la percepción (representaciones graficas de las fracciones y de la unidad), con relación a la toma de decisiones, en la resolución de problemas con respecto a la construcción de conjeturas (Percepción).
• Explorar el conocimiento inicial que tienen los alumnos de grado cuarto de primaria, acerca de algunos significados de fracción (Uso de recursos, según Schoenfeld).

Resultados de la hoja de trabajo (Concepto de fracción como medida)
La actividad 1 de la hoja de trabajo se aplicó el 27 de julio de 2021; esta permitió que los estudiantes se acercaran al concepto de fracción utilizando el significado de medida a partir del cuerpo y de los objetos del salón, de esta manera pudieran establecer la relación entre numerador y denominador utilizando medidas no estandarizadas y las estandarizadas. Dicha hoja de trabajo constaba de tres actividades (Anexo B), las cuales estaban planteadas en el siguiente orden: (i) Utilización del cuerpo para medir la tabla del pupitre correspondiente al ancho, con las cuartas de las manos. (ii) Responder: ¿Cuántas cuartas tiene el ancho de arriba del pupitre? (iii) Se realiza el mismo ejercicio, pero con las cuartas de la mano de la docente, quien entrega material manipulativo para recortar el molde de sus cuartas. (iv) Escritura de lo observado para comparar la medida del ancho del pupitre con la cuarta de la mano del estudiante y la cuarta de la mano de la docente. Respondiendo las siguientes preguntas orientadoras: ¿Obtuvieron la misma medida que cuando lo hicieron con su cuarta? ¿Por qué cree que sucede? ¿Todos obtuvieron la misma medida con la cuarta de la mano de la profesora? (v) Estandarización de las cuartas de la mano utilizando el cm. Para responder: ¿En cuántos centímetros está divido el ancho de la tabla del pupitre? ¿Un centímetro, que fracción representa del ancho de la tabla del pupitre? ¿Dos centímetros, que fracción representa del ancho de la tabla del pupitre? (vi) Socialización de los resultados con la docente y los estudiantes. (vii) Institucionalización de resultados.

Objetivos de la hoja de trabajo

• Desarrollar la experimentación como habilidades para identificar diferentes registros de representación de la fracción.
• Analizar el impacto que tiene el empleo de GeoGebra y el material manipulativo en el proceso de construir conjeturas.

Condiciones de trabajo de la hoja de trabajo
Esta hoja de trabajo la respondieron 7 estudiantes (5 mujeres [71,43%] entre los 9 y los 11 años y 2 hombres [28,57%] entre los 9 y los 12 años de edad). Para solucionar las actividades de dicha hoja de trabajo, los estudiantes utilizaron sus manos, cartulina, papel para recortar, computador con previa instalación del software.

Figura 6.
Medición del pupitre con las cuartas de las manos y llevarlo a medidas estandarizadas para acercarse al concepto de fracción con material manipulativo y simbólico.

La actividad 2 de la hoja de trabajo se aplicó el 3 de agosto de 2021; esta permitió que los estudiantes se acercaran al concepto de fracción utilizando el significado de medida a partir del recorte de tiras de un tamaño distinto al objeto a medir, con el fin de que pudieran reconocer cuándo aparece la fracción. También se les entregó un molde circular y cartulina para elaborar 11 círculos y luego pintarlos como les indicó la docente. La hoja de trabajo constó de tres actividades (Anexo B), las cuales fueron planteadas en el siguiente orden:

• Recortar la imagen del celular y las tiras roja y verde.
• Responder las preguntas orientadoras utilizando tanto la tira roja como la verde.
• Comunicar los resultados utilizando tanto lenguaje verbal como numérico.

Figura 7.
Recorte de las tiras rojas y verde para medir el celular para reconocer cuando aparece la fracción en una situación de medida, práctica realizada con material manipulativo y simbólico.



La actividad de recorte para medir el celular presentó dificultad porque los estudiantes acudieron a la regla inmediatamente leen la pregunta sobre cuál es la longitud del celular tomando como unidad de medida las tiras. Ellos no tuvieron en cuenta las tiras y relacionar estas con el objeto, sino que tomaron las medidas por separado. Por lo tanto, llegaron a conclusiones como las siguientes:

Figura 8.

Conclusión acerca de la medida del celular con relación a las tiras roja y verde.

Se propone la actividad de los círculos, donde los estudiantes deben dibujarlos en la cartulina, recortarlos y luego pintarlos según lo indicado en la hoja de trabajo.

Figura 9.
Recorte y pintado de los círculos según fracción indicada.

La actividad de recortar los círculos, dividirlos y pintarlos según la fracción que indicó la profesora, fue de mucho agrado para los estudiantes. Hubo amplia participación, salieron al tablero y se generó interacción entre ellos. Se logra evidenciar que algunos estudiantes se les dificulta comprender que deben dividir la unidad o la figura en partes iguales. Sin embargo, el 100% ante la pregunta ¿Qué representa la unidad? Respondieron “el círculo”. Por tanto, se puede decir que aciertan que la unidad es el objeto o conjunto completo.

La actividad 3 de la hoja de trabajo se aplicó el 1 de septiembre de 2021; esta permitió que los estudiantes identificaran los elementos de una fracción y se acercaran al concepto utilizando el software de GeoGebra. La hoja de trabajo constó de dos applets (Anexo B), en el siguiente orden:

• Applet 1: Identificar los elementos de la fracción (numerador y denominador), la relación que hay entre ellos y la representación de la unidad.




• Applet 2: Auto-evaluable que permitió que los estudiantes colocaran a prueba sus aprendizajes, generando una dinámica de alta interacción.

Figura 10
Applets: Identificación de partes de una fracción y auto-evaluable.

Los estudiantes identificaron la ubicación del numerador y del denominador. En un inicio se les dificultó reconocer la relación entre numerador y denominador, sobre todo por la falta de cercanía con los aparatos tecnológicos. Sin embargo, luego empezaron a observar que, si el denominador no se movía, al manipular el deslizador del numerador se coloreaban las partes del círculo correspondiente a dicho valor.

Luego trabajaron con un auto-evaluable que motivó mucho la participación, gracias a la fácil interacción con la aplicación que favorece el ensayo y error, fortaleciendo las habilidades comunicativas a través de la competencia entre sus pares; factor muy importante para la comprensión de los ejercicios y que posibilitó el escenario para proponer conjeturas.

De esta manera, en cuanto a la construcción de conjeturas de los estudiantes, se pudo inferir que la mayoría de los estudiantes (71,43%) lograron acercarse correctamente al concepto de fracción, unidad y reconocer en qué situaciones aparecen las fracciones. Se pueden observar los textos producidos por los estudiantes, durante el proceso de construcción de conjeturas.

Figura 11
Construcción de conjeturas por parte de los estudiantes.

¿Cuáles son las lecciones aprendidas?
La línea base se establece a partir de la aplicación de una prueba diagnóstica a los estudiantes de grado cuarto de primaria, el test que consta de trece preguntas mixtas, de estas, ocho fueron de selección múltiple, tres de carácter abierto y las otras dos para completar (Anexo A), evidenció que una parte considerable (23%) de los estudiantes tienen dificultades con la comprensión del concepto de fracción, su representación numérica, identificación de las partes y por tanto, se confunden en los análisis de las situaciones que involucran fracciones; además con el agravante de ser un grupo altamente disperso.

Tabla 1
Prueba diagnóstica

Sin embargo, a partir de la intervención didáctica mediada por GeoGebra y el material concreto, se logró que el 85% de los estudiantes alcanzaran el objetivo propuesto de entender cuándo se utiliza una fracción, cómo representar numéricamente una situación con fracciones, identificar sus partes y reconocer el concepto de unidad. Lo que se evidencia en la disminución del coeficiente de variación (12%) haciendo el grupo más homogéneo.

Tabla 2
Intervención didáctica

Se evidencia un impacto cuantitativo positivo, porque con la intervención didáctica el grupo pasa de un 75% a un 94% de rendimiento. También el grupo, en un inicio, era muy disperso y con la intervención didáctica se observa que los resultados son más homogéneos.

También tenemos como línea base los resultados de las pruebas externas para los grados tercero y quinto. En las pruebas SABER 2016 se evidencia que el 35% de los estudiantes de grado tercero no usa fracciones comunes para describir situaciones continuas y discretas (Figura 8) y el 68% de los estudiantes no resuelve ni formula problemas que requieren el uso de la fracción como parte de un todo, como cociente y como razón (Figura 8). Estos resultados que muestran un nivel de desempeño básico y bajo, frente al concepto de fracción en diversas representaciones, son producto de algunas dificultades que los estudiantes durante su transición entre los grados tercero, cuarto y quinto tienen en sus aprendizajes.

Figura 12
Resultados de la prueba SABER 3° de matemáticas.
GRADO: 3 COMPETENCIA: COMUNICACIÓN

Fuente: Recuperado de “Resultados pruebas SABER Día E 2017”. MEN

Figura 13
Resultados de la prueba SABER 5° de matemáticas.
GRADO: 5 COMPETENCIA: COMUNICACIÓN

GRADO:5 COMPETENCIA: RESOLUCIÓN

Fuente: Recuperado de “Resultados pruebas SABER Día E 2017”. MEN

En este orden de ideas, los estudiantes de grado cuarto trabajaron de manera motivada las actividades propuestas, en un ambiente de aprendizaje dinámico, siendo la acción dialógica de la docente y los estudiantes muy fluida y la pregunta un motor dinamizador del ejercicio pedagógico. Fue muy interesante observar que los niños desde muy temprana edad pueden construir conjeturas simples, para ello fue necesario tener en cuenta: a) hojas de trabajo; b) material didáctico (computadores, software dinámico y material manipulativo); y, c) una metodología de trabajo que demanda un rol más activo de parte del estudiante.

A pesar de las dificultades presentadas dadas por la dinámica del propio contexto y las actividades programadas desde el MEN, lo que impidió una adecuada utilización de los tiempos para la indagación pedagógica, se puede afirmar que la plataforma GeoGebra permite a los estudiantes y a los docentes mejorar las prácticas educativas desde una metodología que promueve la innovación didáctica, debido a que la propuesta de secuencia didáctica les permite a los estudiantes construir el concepto de fracción por medio de conjeturas y se rompe con la educación estática, en la que los estudiantes difícilmente llegan a evidenciar verdaderos procesos de comprensión.

El hecho de dibujar, deslizar, medir, observar con la mediación tecnológica, permite que los estudiantes estén atentos con respecto a los movimientos que suceden en la pantalla del computador fortaleciendo el desarrollo del concepto de fracción.

Teniendo en cuenta los hallazgos encontrados en la indagación, se destaca la necesidad de continuar empleando alternativas de solución a la problemática del bajo desempeño en la comprensión de números fraccionarios, que presentan un aprendizaje poco significativo y que se ve reflejado en los resultados de pruebas internas y externas, encontrando por lo tanto en la pedagogía, la didáctica y la tecnología, herramientas opcionales y tal vez fundamentales para lograr despertar de nuevo la atención y el interés de los estudiantes de forma participativa, coherente e integral hacia la matemática que está inmersa en todas las áreas del saber.

Una vez concluido el proceso de indagación y de haber interactuado los estudiantes con la plataforma, se realizó una práctica con el software GeoGebra para comparar los resultados, encuentra que es necesario fortalecer el manejo de las herramientas de la plataforma, y de esta manera aprovechar mejor el recurso.

Referencias

• Benítez, D. (2006). Formas de razonamiento que desarrollan estudiantes universitarios de primer año en la resolución de problemas con tecnología digital (Tesis doctoral). Departamento de Matemática Educativa. Cinvestav. México.
• Benítez Mojica, D., Yaker Agudelo, H. y Taquez, H. A. (Eds.) (2021). Experiencias significativas en educación matemática. Editorial Universidad Icesi. DOI: https://doi.org/10.18046/EUI/disc.4.2021
• MEN. (2017). Informe por colegio – Pruebas saber 3°, 5° y 9° 2016. IE. Sagrada Familia Potrerillo.
• Ortiz, F. (2018). Interpretación de la fracción como parte-todo a través del origami (Trabajo de grado). Facultad de Ciencias de la Educación. Universidad Externado de Colombia.
• Pólya, G. (1965). ¿Cómo plantear y resolver problemas de matemáticas? Trillas.

ANEXOS
Anexo A: Prueba diagnóstica de entrada para el grado 4°

PREGUNTA	ANÁLISIS
PREGUNTA 1: ¿Qué entiendes por fracción? Dividir una cantidad Dividir comida Dividir en partes iguales Partir cosas No sabe/No Responde	Los 7 estudiantes respondieron correctamente la pregunta, por tanto, la desviación estándar es cero. Los estudiantes comprenden que una fracción tiene que ver con dividir algo que estaba completo.
PREGUNTA 2: ¿Cuándo utilizamos las fracciones? Dividir comida Repartir cosas Dividir números Dividir cantidades Todas las anteriores Ninguna de las anteriores No sabe/No Responde	4 estudiantes contestaron de manera incorrecta y 3 correctamente. Por tanto, más del 50% no comprende cuando se utilizan las fracciones. La desviación estándar subió a 0,53.
PREGUNTA 3: ¿Cuál de las siguientes respuestas equivale a la mitad de una parte? 1/8 1/2 2/4 3/7 No sabe/ No responde	Los 7 estudiantes entienden cómo se presenta la mitad numéricamente. Por tanto, la desviación estándar es cero.
PREGUNTA 4: ¿Cómo se nombra al número de arriba de una fracción? Número 1 Numerador Enumerador Denominador No sabe/No Responde	Solo un estudiante respondió incorrectamente. Teniendo una desviación estándar de 0,38.
PREGUNTA 5: ¿Cómo se nombra al número de abajo de una fracción? Denominador Enumerador Número 2 Nominador No sabe/No Responde	Solo un estudiante respondió incorrectamente, que es la misma de la pregunta anterior. Teniendo una desviación estándar de 0,38.
PREGUNTA 6: Juntos, Sara y José tienen 20 lápices. Sara dice que 1/4 de los lápices son de ella. José dice que 15 de los lápices son de él. Explica cómo ambos pueden tener razón. Usa palabras o dibujos. Denominador Enumerador Número 2 Nominador No sabe/No Responde	Esta pregunta es una situación problema. Ningún estudiante abordo el ejercicio de manera adecuada por sí mismo. Teniendo una desviación estándar de 0.
PREGUNTA 7: Escribe la fracción que representa la parte sombreada de cada una de las tiras:	Tres estudiantes respondieron de manera satisfactoria, dos no contestaron y dos los hicieron de manera incorrecta. Subiendo la desviación estándar a 0,90.
PREGUNTA 8: Selecciona la fracción que representa la parte que está sombreada: 2/4 4/8 2/6 4/6 No sabe/No Responde	Seis estudiantes abordaron el ejercicio de manera adecuada y sólo un estudiante no contestó.
PREGUNTA 9: Del total de corazones, ¿qué fracción representa los corazones pintados de gris? E. No sabe/No Responde	Cinco estudiantes entendieron que la unidad está representada por los ocho corazones y la fracción representada. Un estudiante no contestó y otro lo hizo de manera incorrecta.
PREGUNTA 10: Juan se comió dos quintos de la torta” Según esto, ¿Cómo se escribe la fracción? 2/2 5/2 2/5 5/2 No Responde	Seis estudiantes comprenden tanto la lectura como escritura matemática de una fracción. Sólo un estudiante lo hace de manera incorrecta.
PREGUNTA 11: Coloree la fracción de acuerdo a la fracción.	Tres estudiantes responden adecuadamente. Dos lo hacen de forma incorrecta y dos no contestan.
PREGUNTA 12: Complete el dibujo y represente gráficamente las siguientes fracciones:	Tres estudiantes responden adecuadamente. Dos lo hacen de forma incorrecta y dos no contestan.
PREGUNTA 13: Con un ejemplo o un dibujo, describe que significa la unidad.	Dos estudiantes describieron a través de un dibujo el concepto de unidad, tres lo hicieron de forma incorrecta pues no lo hicieron a partir de la interpretación propia, sino que utilizaron la definición textual de diccionario y dos no contestaron.

Anexo B: Hoja de Trabajo

1. Aprendo con GeoGebra, observo qué pasa cuando muevo los deslizadores. Escribo en las casillas cuál es el numerador, el denominador y la fracción que representa. Luego contestar las preguntas orientadoras.
   
2. Práctica lo aprendido, auto-evalúate con GeoGebra, debes responder colocando especial atención a las preguntas que se realizan.
   

Resumen
El presente proyecto da cuenta de una investigación realizada con estudiantes del cuarto grado de primaria de la Institución Educativa Técnica Agropecuaria Mariano Melendro, ubicada en el Cañón de Combeima en la ciudad de Ibagué en el departamento del Tolima, el cual está centrado en desarrollar el pensamiento métrico y los sistemas de medidas, teniendo en cuenta que este le permite al estudiante plantear y resolver situaciones problémicas que involucran los otros pensamientos (Numérico, Espacial, Aleatorio y Variacional).

El tema central para desarrollar este proyecto es el área y el perímetro de figuras geométricas, utilizando su contexto junto con el proyecto transversal llamado “Cultivando Mi Futuro” de la institución educativa, llevándolo al aula de clase por medio de actividades que desarrollaron, empleando el Modelo Pedagógico Práctico Reflexivo (M.P.P.R) de la Escuela Normal Superior de Ibagué, que consta de una secuencia didáctica de 5 momentos: que son la definición de la situación problémica, la intelectualización del problema, la exploración y descubrimiento, la reflexión sobre el significado y la ampliación de ideas, dando valor a los saberes previos, manejando conjeturas, predicciones visuales y conceptos, de manera integral donde el software de GeoGebra y el material manipulativo se constituyen en los recursos adecuados para guiar el aprendizaje de los estudiantes.

En la implementación del proyecto se tuvieron resultados satisfactorios ya que se promovió la participación activa de los estudiantes en el desarrollo del pensamiento métrico y sistemas de medidas, usando y manejando el contexto por medio de la indagación, la exploración y la medición en cada proyecto transversal llamado “Cultivando mi Futuro” de la institución educativa, junto con la integración de las TIC con el software dinámico de GeoGebra, y con las novedades que afectaron las condiciones directamente en el desarrollo de la práctica de manera presencial como lo fue, el clima, el Paro Nacional y la pandemia, pero a pesar de esto se logró reunir un grupo de cinco estudiantes que sirvieron como prueba piloto del proyecto, cumpliendo con los protocolos de bioseguridad.

¿En dónde se hizo el proyecto?
El proyecto se desarrolló en la Institución Educativa Técnica Agropecuaria Mariano Melendro, ubicada en el Cañón del Combeima de Ibagué en el departamento del Tolima, trabajando desde los proyectos pedagógicos transversales (PPT), promoviendo el aprendizaje de los estudiantes y generando en ellos metodologías de trabajo, que atienden al pensamiento métrico y los sistemas de medidas haciendo uso del software GeoGebra y los materiales manipulativos vistos en el desarrollo de los proyectos productivos de la institución. Esta cuenta con jornada única en la sede principal donde se ofrecen los niveles de básica primaria, básica secundaria y media, promoviendo la formación integral de sus estudiantes de acuerdo con una concepción en principios y valores de la persona, de la vida, del mundo y de la nueva ruralidad. La institución cuenta con las siguientes sedes: Rafael Uribe, Cay, La Cascada, Santa Teresa, Clarita Botero, Ramos y Astilleros, Mirasol, Las Ánimas y El Gallo, donde se ofrece los niveles de preescolar y básica primaria.

Esta Institución Educativa está ubicada en la vereda Chapetón, corregimiento Cay del Municipio de Ibagué, capital del departamento del Tolima. La zona se encuentra a la altura del kilómetro 4 de la vía que comunica a Ibagué con el nevado del Tolima; tiene incidencia significativa en el área rural, por la procedencia de la población estudiantil de 23 veredas de los corregimientos Juntas (6), Villa Restrepo (8) y Cay (9), y una baja incidencia urbana por encontrarse ubicado en la comuna 1 del barrio Chapetón.

Figura 1. Ubicación Geográfica del Municipio de Ibagué-Tolima (Colombia)

Figura 2. Institución Educativa Mariano Melendro

El proyecto se desarrolló durante el segundo periodo del año lectivo 2021. La comunidad escolar que participó en este estudio estuvo conformada por los estudiantes del grado cuarto de básica primaria de dicha institución, el grupo era mixto y sus edades oscilaban entre 10 y 13 años de edad, contando con la participación de cinco estudiantes (una niña y cuatro niños). Alrededor del 25% de los niños y niñas que asisten a la institución educativa requieren jornadas de camino de entre una y tres horas, contando con que algunos de ellos regresan después de la jornada académica hacia sus hogares hasta altas horas de la tarde.

¿Qué se hizo y por qué?
Este proyecto se realizó con el propósito de desarrollar el pensamiento métrico como uno de los componentes en las matemáticas, para los estudiantes de cuarto grado de primaria, atendiendo lo referido por el Ministerio de Educación Nacional (MEN) donde dice que “Las competencias matemáticas no se alcanzan por generación espontánea, sino que requieren de ambientes de aprendizaje enriquecidos por situaciones problémicas significativas y comprensivas, que posibiliten avanzar a niveles de competencia” (MEN, 2020, p. 49).

Teniendo en cuenta lo dicho anteriormente se buscó atender, desde la práctica en modalidad presencial teniendo en cuenta los protocolos de bioseguridad y la capacidad de audiencia máxima. En esta parte solo se contó con cuatro estudiantes y la presencia de tres maestras en formación, junto con la compañía y apoyo de la docente Jaennet Falla como directora del grupo de educandos.

Se trabajó en dos intervenciones, cada una con una duración de tres horas donde se tuvo en cuenta la resolución de problemas a partir del pensamiento métrico y los sistemas de medida, centrados en el desarrollo del mismo, mediados por recursos tecnológicos, el software GeoGebra y material manipulativo, siguiendo el modelo pedagógico práctico reflexivo, usado por las maestras en formación de la Escuela Normal Superior de Ibagué.

¿Cómo se hizo el proyecto?
El proyecto está sustentado en dos etapas: por el marco teórico y el diseño metodológico. En el marco teórico se tuvo en cuenta tres componentes fundamentales:

El pensamiento métrico y sistemas de medidas

El desarrollo de este pensamiento con los estudiantes de I.E. Técnica Agropecuaria Mariano Melendro, se centró en el uso de operaciones en las representaciones geométricas teniendo en cuenta los conceptos de estadística y las nociones de funciones, para el proyecto productivo cabe resaltar que se buscó la comprensión de temas como área y perímetro de figuras geométricas, utilizando su contexto junto con el proyecto transversal de la I.E. llamado “Cultivando Mi Futuro”.

Teniendo en cuenta los propósitos expuestos por el Ministerio de Educación Nacional (MEN), en los lineamientos Curriculares y Estándares básicos de competencias en matemáticas, que expresan: “La interacción dinámica que genera el proceso de medir entre el entorno y los estudiantes, hace que éstos encuentren situaciones de utilidad y aplicaciones prácticas donde una vez más cobran sentido las matemáticas” (MEN, 1998, p. 41).

La importancia de la geometría ha sido destacada en los últimos años, por grandes especialistas en el área, ya que esta logra articular todas las ramas de la matemática, que permite crear preconceptos que son requisitos en matemáticas avanzada y otras áreas de conocimiento como la química, la física, la astronomía, la tecnología, el arte entre otras, permitiendo desarrollar la percepción espacial y visual, establecer equivalencias entre figuras y objetos. Existe una estrecha relación entre esta área del conocimiento con la vida cotidiana y el contexto de los estudiantes, ya que en nuestro lenguaje es común realizar descripciones de nuestro entorno a partir de las formas geométricas que poseen las construcciones y la misma naturaleza. (Avella, 2012, p.13).

Proyectos transversales
La institución educativa cuenta con un proyecto transversal de educación ambiental enfocado en la agricultura, cumpliendo con la normatividad de la Secretaría de Educación del Tolima, que dice lo siguiente:

Llamados comúnmente proyectos transversales, permiten planear, desarrollar y evaluar el currículo en el establecimiento Educativo, posibilitando con ello, mejorar la calidad del proceso de enseñanza y el desarrollo integral del estudiante; está fundamentado en el artículo 36 del decreto 1860 de 1994 como una actividad dentro del plan de estudios con el propósito de conllevar al estudiante a la solución de problemas propios de su entorno, seleccionados mediante un diagnóstico previo que atiende a las necesidades sociales, científicas, culturales y tecnológicas del estudiante. (2021. p.1).

La idea principal de la transversalidad es hacer crecer al estudiante de manera integral en el ámbito escolar y cultural, así como lo dice Magendzo:

La transversalidad es un enfoque dirigido al mejoramiento de la calidad educativa, y se refiere básicamente a una nueva manera de ver la realidad y vivir las relaciones sociales desde una visión holística o de totalidad, aportando a la superación de la fragmentación de las áreas de conocimiento, a la aprehensión de valores y formación de actitudes, a la expresión de sentimientos, maneras de entender el mundo y a las relaciones sociales en un contexto específico. (Transversalidad y Currículum, 2003).

Por esta razón se habla de la integración del proyecto transversal llamado “Cultivando mi Futuro”, con las TIC, los materiales manipulativos y sobre todo el contexto en el que se desarrolla cada estudiante, generando soluciones en las problemáticas que se presentan a diario, y no solo con una mirada personal, si no con un enfoque social, ético y moral que le permita al niño relacionarse y desarrollarse en cualquier circunstancia de la vida.

La implementación de herramientas tecnológicas y material manipulativo
Con el fin de dinamizar el aprendizaje del pensamiento métrico se tienen en cuenta la importancia que tiene el trabajar, como lo dice Avella (2012):

Con las herramientas informáticas TIC que se han convertido en instrumentos mediadores en el conocimiento ya que se puede aprovechar las múltiples opciones que ofrece para transformar los procesos de enseñanza aprendizaje, donde el estudiante puede reforzar y complementar las temáticas trabajadas en aula, al tiempo que se crea un espacio más directo de interacción entre el docente y el estudiante.

Por tal sentido, trabajar las herramientas tecnológicas en un grupo de baja conectividad, se convierten en un factor fundamental para la motivación y el desarrollo del pensamiento métrico, asociándolo con el contexto y la transversalidad que se encuentra en la institución educativa.

El trabajo con material manipulativo también es indispensable para los estudiantes en relación con las capacidades de reconocer formas, tamaños, texturas y más cuando se trata de un tema relacionado con la geometría, si a eso se le suma la importancia del contexto que maneja en su diario vivir, se llega a la posibilidad de potencializar sus capacidades cognitivas de razonamiento y resolución de problemas geométricos.

En este mismo sentido Zúñiga y Gracia afirman que:

Los materiales manipulativos facilitan la aparición del proceso de mediación instrumental, el cual permite transformar el artefacto en instrumento después de un cierto proceso de apropiación por parte de los estudiantes. También se consideran los aspectos cognitivos, puesto que este panorama ayuda a reconocer en la enseñanza y el aprendizaje del concepto de área diversos obstáculos y dificultades conectadas a las etapas de desarrollo de los estudiantes. (2015, p. 416).

Con la implementación de herramientas tecnológicas y materiales manipulativos se espera conseguir un aprendizaje significativo integrando el desarrollo del pensamiento métrico y el sistema de medidas, en conjunto con el proyecto transversal de la institución educativa para llevar la teoría a la práctica axiológica.

Diseño metodológico
Teniendo en cuenta que los modelos pedagógicos “Son imágenes o representaciones construidas sobre lo que podría ser la multiplicidad de fenómenos o cosas observables reducidas a una raíz común que permite captarlas como similares en su estructura o al menos en su funcionamiento”. (Flores, 1997, p. 1), asumimos como representación de las relaciones que predominan en el ámbito educativo y pretenden mostrar la multiplicidad de elementos y factores que entran en juego en el fenómeno educativo. Dado que el modelo pedagógico determina relaciones entre la teoría y la práctica pedagógica, es decir, entre el ser y el quehacer de los miembros de la comunidad educativa.

La secuencia didáctica del modelo pedagógico práctico reflexivo, con el cual se llevó a cabo el proyecto, se construye a partir del cultivo del pensamiento crítico-reflexivo. Las experiencias y situaciones sociales se problematizan de tal manera que el estudiante participa en la determinación de objetos de conocimiento, en la creación de rutas y en la búsqueda de caminos que conduzcan a respuestas para solucionar los problemas identificados. En este proceso se involucran las actividades cognitiva, volitiva, afectiva y axiológica, por lo que es necesario considerar al estudiante de manera integral, para aprovechar sus potenciales y para atender las características particulares de su aprendizaje.

El modelo en el cual se realiza el proyecto es el “Modelo Pedagógico Práctico Reflexivo” (MPPR), el cual obedece a una visión crítico-social construida y adoptada por la Escuela Normal Superior de Ibagué (ENSI) a partir del año 1999. De acuerdo con lo que establece la IE en el PEI, se aspira a construir una escuela diferente, donde las exigencias de innovación, creatividad y cambio, como un proceso esencialmente investigativo.

Por otra parte, para promover el aprendizaje activo, es importante cultivar la participación, mediante la construcción de preguntas por parte de los estudiantes, la reflexión, capacidad crítica y la interpretación e indagación de proyectos productivos que innoven y hagan parte de un proceso de formación. El modelo de la ENSI está constituido por la pedagogía que forma al maestro y lo guía a trascender en la educación, realizando un proceso que requiere tanta acción en el discurso y su coherencia en él.

El modelo práctico reflexivo propone la problematización de los saberes, se ha asumido la metodología de la enseñanza problémica planteada por John Dewey asociada a la estrategia utilizada para la enseñanza de la ciencia en los proyectos integradores que se viene desarrollando en la ENSI, este modelo cuenta con cinco momentos los cuales son: definición de la situación problémica, intelectualización del problema, exploración y descubrimiento, reflexión sobre el significado, ampliación de ideas.

Criterios a tener en cuenta por parte del maestro. Las maestras en formación tuvieron en cuenta los cinco momentos del Modelo Pedagógico Práctico Reflexivo MPPR, integrando también estos tres pasos fundamentales en el momento de planear las actividades: ¿qué enseñar al estudiante?, ¿cuál va a ser el tema fundamental de clase? y ¿hacia quién se va a dirigir? Otro de los aspectos es el cómo lo va enseñar ya que las estrategias, las herramientas de trabajo, las actividades interactivas son didácticas mediante las cuales se pueden enseñar de diferentes temas con variedad. El último punto es ¿para qué lo enseño?, es el propósito de ver algo teóricamente y relacionarlo con su vida diaria y hacer que el estudiante aprenda y vea en qué diferentes situaciones pueden aplicar lo aprendido.
¿Qué enseño? Se enseñará a los estudiantes instrumentos y unidades estandarizadas y no estandarizadas para estimar y medir longitud, área, volumen, capacidad, peso y masa, duración, rapidez, temperatura, y a partir de ellos hacer los cálculos necesarios para resolver problemas que relacionen el área y perímetro de objetos o estructuras. Teniendo en cuenta el proyecto “Cultivando nuestro futuro”, se llevó a cabo la presentación de GeoGebra que es un software de matemáticas para todo nivel educativo que se maneja dinámicamente.

Usando el software de GeoGebra, se muestra a los estudiantes cada proyecto de la institución, donde ellos deben hacer el reconocimiento durante la clase, esto se hace para motivarlos creando una expectativa de lo que observan, se continúa con la exploración de las herramientas de manera individual y por último se pasa a que ellos mismos construyan desde lo aprendido.

¿Cómo enseño? El estudiante describe y argumenta las relaciones entre el perímetro y el área de diferentes figuras, usando diferentes metodologías implementadas en el aula para favorecer el proceso de aprendizaje de los alumnos, cuando se fija una de estas medidas. Para enseñar este tema implementando el software, primero se conceptualiza al estudiante y luego se les mostrará ejemplos y videos mediante los cuales ellos podrán asociar. En la clase a los niños se les mostrará una construcción en GeoGebra que se relaciona con el tema de la clase, para revisar el protocolo de construcción y las herramientas utilizadas.

¿Para qué lo enseño? Se enseña a los educandos a identificar magnitudes e instrumentos de medida con el fin de realizar conversiones de unidades proponiendo diferentes procedimientos para realizar cálculos (suma y resta de medidas, multiplicación y división de una medida y un número) que aparecen al resolver problemas en diferentes contextos. Teniendo en cuenta que los aprendizajes son significativos y que muchos de los saberes del área de matemáticas pueden ser vistos y enseñados desde la transversalidad de la tecnología, se les enseñanza con el fin de facilitar los aprendizajes y lograr que el objetivo sea un proceso dinámico y significativo para los estudiantes, ya que una parte importante en este proceso ayuda a desarrollar el pensamiento métrico y geométrico de manera colectiva.

Criterios por parte de los estudiantes. Debido a la situación de confinamiento, se tuvieron en cuenta cinco estudiantes del cuarto grado de primaria de la I.E Técnica Agropecuaria Mariano Melendro. Primero se trabajó lo que iba aprender el estudiante, donde se explicó el proyecto “Cultivando Nuestro Futuro” y el propósito que se tenía, enfocándonos en el área y el perímetro del sector agropecuario, donde se iba a integrar GeoGebra. En el segundo momento se denominó lo que está aprendiendo el estudiante, donde se llevó a cabo la exploración de la aplicación anteriormente mencionada, inclinándose con los saberes de la clase; en el tercer momento los estudiantes practicaron lo aprendido, primero en el cuaderno y después trataron de replicarlo en GeoGebra teniendo en cuenta el área y el perímetro, en los últimos momentos, se identificó el qué aprendió y cómo sabe que lo aprendió, las maestras les indicaron a los estudiantes las actividades construidas y los procesos a realizar.

¿Cómo interviene el modelo práctico pedagógico reflexivo (MPPR) en la clase con los estudiantes?

1. Definición de la situación problemática: el maestro inicia planteando un problema (pregunta problematizadora), estimulando la curiosidad, el interés, el cuestionamiento y la intriga para así lograr que el estudiante plantee hipótesis, conjeturas y posibles rutas de solución.
   ¿Qué va aprender el estudiante?
   A partir del planteamiento de la Pregunta problematizadora:
   • ¿Qué formas y tamaños tenían las zonas destinadas para los distintos proyectos de la institución?
   • ¿Cuántas baldosas se necesitaban para cubrir el piso del salón?
2. Intelectualización del problema: en esta etapa el estudiante realizará predicciones y logrará hacer conjeturas que planteen posibles interrogantes o soluciones de acuerdo con el tema.
   Se trabajó con el proyecto cultivando nuestro futuro por medio de diferentes herramientas, como lo fue el material manipulativo y el software de GeoGebra, enfocándose en áreas y perímetros del sector agropecuario de cada espacio. Los estudiantes comenzaron observando las imágenes presentadas, y también respondieron algunos interrogantes:
   • ¿Qué figuras geométricas se encontraron en la imagen?
   • Contaron brevemente ¿qué herramientas utilizarían para reconstruir una huerta similar a la que se proyectó?
   • Luego se expuso la imagen de cada uno de los proyectos donde los estudiantes socializaron sus características.
   • Se dibujó en el cuaderno las imágenes que se proyectaron en el televisor y con sus propias palabras respondieron:
     • ¿Qué diferencias notaste al realizar el dibujo?
     • ¿Alguna vez escuchaste la palabra GeoGebra?
     • ¿Qué piensas cuando escuchas esta palabra?
3. Exploración y descubrimiento: con el planteamiento de la actividad se busca que el estudiante genere la observación, exploración, interpretación, discusión, análisis y organización de la información para luego dar a conocer las conclusiones que se han encontrado.
   Lo que está aprendiendo el estudiante:
   • Se invitó al estudiante a explorar juntos la plataforma GeoGebra, pero antes se indagó un poco sobre qué es y para qué sirve:
     • GeoGebra puede ser utilizado para explorar, descubrir, experimentar, construir y ¡mucho más!
     • GeoGebra: es una aplicación matemática para todos los niveles educativos, donde se integra dinámicamente geometría, estadística, gráficos, análisis y registros de organización de hojas de cálculo. GeoGebra reúne a una amplia comunidad y en crecimiento con su flexibilidad de uso gratuito. (Se van mostrando imágenes de aplicación a los estudiantes).
   • Se recordó el concepto de área y de perímetro:
     • El área: es la medida de la superficie de una figura; es decir, la medida de su región interior.
     • El perímetro: es la medida del contorno de una figura, puede calcularse sumando la longitud de cada uno de sus lados (proyectando ejemplos).
   • Junto con la maestra se observaron los siguientes videos de la explicación sobre el área y perímetro:
     • https://www.youtube.com/watch?v=d3rI0ONOMMY&t=13s&ab_channel=SmileandLearn-Espa%C3%B1ol
     • https://www.youtube.com/watch?v=wYNvY_bOGdc&ab_channel=DanielCarre%C3%B3n
   • En este momento los estudiantes estuvieron atentos a la explicación de la maestra sobre cómo usar la aplicación de GeoGebra, sus características y las herramientas, para realizar una exploración de la misma.
   • Por medio de GeoGebra, el estudiante trató de construir un objeto geométrico, donde tuvo en cuenta la explicación en clase, identificando el área y el perímetro.
   • Finalmente respondieron: ¿Te parece difícil el uso de esta herramienta? Cuéntale a tu maestra y compañeros qué te parece el uso de este software para identificar el área y el perímetro de la construcción que hiciste.

4. Reflexión sobre el significado: se realizan preguntas acerca del material de la clase, hay una reflexión frente a ¿Qué sabía? ¿Qué creía? ¿Qué aprendí? Se evalúan los logros de los objetivos y las comprensiones de los nuevos conocimientos que tiene el estudiante.
   El estudiante practica lo aprendido
   • El estudiante dibujó en el cuaderno los planos de los diferentes proyectos productivos de su institución, identificando con su nombre y recordando qué son: el galpón de las gallinas felices, el aprisco para las ovejas y cabras, el invernadero, la compostera, el lombri-cultivo y la huerta. Se sugirió usar colores distintivos y regla.
   • Luego se hizo la construcción del plano de cada proyecto productivo en la aplicación de GeoGebra donde se tuvo en cuenta el área y perímetro; las maestras estuvieron atentas a las inquietudes que se presentaron.
5. Ampliación de ideas: se plantean actividades de complementación y aplicación del conocimiento adquirido, se comparte lo trabajado, intercambiando saberes y aclarando dudas sobre el tema.
   ¿Qué aprendió?
   El estudiante realizó la construcción del plano de la casa, primero en el cuaderno y luego en la aplicación de GeoGebra identificando el área y el perímetro de la misma.
   ¿Cómo sabe el estudiante que aprendió?
   • Exploraron la aplicación de GeoGebra que se encontraba en los equipos de la Institución.
   • Realizaron y ambientaron los espacios visitados de la aplicación.
   • Crearon otros ambientes parecidos a los proyectos en la aplicación, teniendo en cuenta diferentes aspectos de los ambientes agropecuarios.
   • Socializaron los ambientes creados con sus compañeros.

    
   ¿Con qué materiales se ejecutó el proyecto?
   Para llevar a cabo este proyecto, se utilizaron dos clases de materiales: por un lado, el software de GeoGebra que atiende a recursos tecnológicos que son medidos por computadores, celulares, proyectores. Por otra parte, se usaron materiales manipulativos matemáticos, tales como el decámetro, la cinta métrica, las reglas y los cuadernos. También se tuvieron en cuenta las herramientas de Google (presentaciones, video, formularios, entre otros), teniendo claro que esta herramienta es un software de matemáticas libre, dinámica, gratuita, que combina la geometría y la estructura de los sistemas algebraicos para todo nivel educativo, lo cual permite potencializar conceptos matemáticos.
   Gracias a la integración del material manipulativo, las herramientas de las TIC y el contexto de los estudiantes en la institución educativa, se logró un aprendizaje significativo, a partir de la solución de problemas sobre pensamiento métrico y los sistemas de medidas.
   ¿Qué resultados se obtuvieron?
   A partir del reconocimiento del proyecto productivo “Cultivando mi Futuro” de la Institución Educativa, los estudiantes indagaron en el reconocimiento de medidas y figuras geométricas que se podían identificar de cada uno de estos campos, gracias a estas observaciones se encontraron las características, los beneficios y las utilidades, mostrando la importancia que este tiene para la comunidad educativa.
   Al terminar el recorrido por los proyectos de la institución, las maestras en formación solicitan a los estudiantes dibujar en sus cuadernos los espacios anteriormente vistos, con las medidas correspondientes. Al socializar cada uno de estos datos, los estudiantes mostraron los resultados finales de manera clara, evidenciando las diferentes medidas, el manejo de la regla y los demás instrumentos utilizados durante este proceso, pero lo más importante, entendiendo que las matemáticas se usan en el diario vivir y que en este caso no podría ser la excepción.
   Al dar paso a la realización del taller de trabajo, se realizó la explicación de cada proyecto productivo y los estudiantes respondieron a los interrogantes planteados, teniendo en cuenta lo siguiente:

   • Concepciones: cuáles figuras geométricas identificaban en cada uno de los proyectos.
   • Percepción: cuáles fueron las medidas encontradas en cada proyecto productivo, identificando el ancho, el largo y la altura.
   • Manejo de recursos: el desarrollo del taller permitió que cada estudiante tuviera claro cómo se identificaba el área y el perímetro, con el fin de entender que podía ser en una suma iterada o una multiplicación, según lo que fuera requerido.

    
   Objetivos:

   • Establecer los conceptos que tienen los estudiantes sobre área y perímetro, contextualizando y reforzándolo, con el uso de los recursos que tienen en su entorno.
   • Observar el impacto que tiene la percepción (medida, figura), en relación al reconocimiento de instrumentos con unidades estandarizadas y no estandarizadas para estimar y medir longitud y área. A partir de ello se hicieron los cálculos necesarios para resolver problemas matemáticos relacionados con el área y el perímetro.

 
Condiciones del proyecto realizado
El taller de trabajo que se tuvo en cuenta para este proyecto contó con la participación de cuatro estudiantes (una niña y tres niños), desarrollándose de manera escrita y colectiva donde todos eran partícipes del conocimiento, con la ayuda de las maestras en formación y con el fin de que los estudiantes resolvieran las dudas y reforzaran sus presaberes.

El proyecto se desarrolló en las siguientes condiciones:

Se fundamentó en que los estudiantes utilizaran las medidas y las figuras geométricas que se podían hallar de cada proyecto productivo, contando con el área y el perímetro, para luego plasmarlo en el software educativo de GeoGebra, reconociendo sus características y beneficios, pero sobre todo utilizando adecuadamente cada herramienta y poniendo en práctica lo explicado en clase.

Las maestras en formación iban socializando cada paso del taller con los estudiantes, preguntando si tenían dudas sobre cada proyecto productivo, sobre las medidas o las figuras geométricas, este proceso duró alrededor de 3 horas, pues se dio paso a la construcción de cada proyecto en el software de GeoGebra.

Resultados del taller de trabajo (área y perímetro)
Las actividades del taller se aplicaron en dos secciones; esto permitió a los educandos un reconocimiento del área y perímetro en el contexto de la institución educativa y su proyecto transversal “Cultivando mi Futuro”. Este taller de trabajo fue planeado de la siguiente manera:

• Realizaron un recorrido por la institución educativa, observando la forma y apuntando las medidas exactas de los proyectos.
  Figura 3.





• Dibujaron cada proyecto productivo en el cuaderno y colocaron las medidas correspondientes.
  Figura 4.




• Identificaron las figuras geométricas de cada proyecto.
  Figura 5.



• Conocieron, exploraron y utilizaron la aplicación GeoGebra y sus herramientas.
• Reforzaron el concepto en área y perímetro.
• Efectuaron la construcción de los proyectos productivos en la aplicación GeoGebra.
  Figura 6.
  
  Figura 7.
  
  Figura 8.
  
  Figura 9.
  

 
Objetivos de la hoja de trabajo

• Resolver problemas geométricos en contexto real con ayuda de GeoGebra.
• Analizar el impacto que tiene GeoGebra y el material manipulativo en el proceso de recrear la construcción de los proyectos productivos que rodea la institución educativa.

 
¿Cuáles son los aprendizajes obtenidos?
Durante el desarrollo de este proyecto se analizó que tres de los estudiantes que asistieron a las dos intervenciones, ya contaban con el dominio de la cinta métrica y el decámetro, con unos pre-saberes básicos de longitud, área y perímetro, esto se notó al realizar la parte del reconocimiento de los proyectos productivos de la institución educativa, donde usaban e identificaban los metros, los centímetros y las medidas casi exactas de cada construcción, entre otros.

El estudiante que no tenía ningún conocimiento del tema, se fue relacionando en la interacción con sus demás compañeros y esto les ayudó a obtener nuevos saberes; con la ayuda de las maestras acompañantes se iba aclarando dudas y reforzando los saberes en cuanto a la temática. Durante este tiempo el proceso colaborativo mostró que los educandos trabajaron de manera dinámica y espontánea, pues el ambiente de clase se los permitía, siempre estaban atentos a responder a los interrogantes y socializarlos de manera activa, en el transcurso de las actividades se usó el material manipulativo trabajando con las reglas, la cinta métrica, colores y demás materiales.

A la hora de recrear cada uno de los proyectos productivos, se usó el software de GeoGebra, donde verificaron, exploraron e identificaron las medidas y el tipo de figuras geométricas que simulaba cada proyecto, a los estudiantes se les facilitó el proceso de la construcción, gracias a la exploración que se realizó de las herramientas y en general del programa, esto llevó a cumplir con el objetivo de desarrollar el pensamiento métrico durante el tiempo estimado.

Este tipo de procesos permite que el estudiante cree e indague sobre las nuevas herramientas que ofrecen las TIC, desarrollando el pensamiento matemático y computacional, las cuales estimulan la curiosidad y el interés, que ayudan a la motivación continua dentro y fuera del aula de clase, donde se le da la importancia al contexto de los educandos. En este caso la parte agrícola fue fundamental para que ellos la usaran como base en el desarrollo del pensamiento métrico, con el sentido de entusiasmo por aprender algo nuevo y tecnológico, aportando a sus nuevos saberes de manera dinámica y significativa.

Referencias
Avella, P. (2012). Propuesta didáctica para la enseñanza de áreas y perímetros en figuras planas. Docplayer. https://docplayer.es/20356693-Propuesta-didactica-para-la-ensenanza-de-areas-y-perimetros-en-figuras-planas-mario-fernando-arenas-avella.html

Magendzo, A. (2003). Magisterio. Obtenido de Administración educativa; Currículo: http://bibliotecadigital.magisterio.co/libro/transversalidad-y-curr-culum

Melendro, M. (2018). PEI. Obtenido de INSTITUCIÓN EDUCATIVA TÉCNICA AGROPECUARIA MARIANO MELENDRO: https://marianomelendro.colegiosonline.com/uploads/institucion/pei.pdf

MEN. (1994). Decreto 1860 de agosto 3 de 1994. Obtenido de https://www.mineducacion.gov.co/1621/articles-86240_archivo_pdf.pdf

MinEducacion (2002). ESTÁNDARES BÁSICOS DE COMPETENCIAS. Obtenido de MEN: https://www.mineducacion.gov.co/

Moreno, R. D.-Y. (2015). El papel de los materiales manipulativos en la resolución de problemas: el caso del área. Revista Colombiana de Matemática Educativa, 5.

Ovando, L. C.-L.-A. (2011). Revisión Final – Modelo pedagógico práctico Reflexivo. Obtenido de Library: https://1library.co/document/8ydlk1jz-reflexion-practica-formacion-maestros-escuela-superior-redaccion-documento.html

ANEXO

Resumen
En el presente estudio se documenta una experiencia didáctica en el área de matemáticas realizada con estudiantes de tercer grado de primaria de la institución educativa oficial Eva Riascos Plata, sede Alfonso Barberena. Se muestran estrategias para construir relaciones entre el perímetro y el área de figuras planas. El trabajo se desarrolló con la mediación de material manipulativo representado en rectángulos construidos en cartulina, hilo para medir contornos, el software GeoGebra, la aplicación genial.ly, los recursos de Google: formularios, Jamboard y Meet. Se observó que los ambientes de aprendizaje mediados por tecnología y materiales manipulativos ofrecen un ambiente enriquecido y favorable para el aprendizaje significativo de los estudiantes.

¿Dónde se hizo el proyecto?
Este proyecto académico se desarrolló en la sede Alfonso Barberena adscrita a la institución Educativa Eva Riascos Plata. Se ubica en la Comuna 12, zona centro del municipio de Santiago de Cali. Limitando con los barrios el Rodeo, Villanueva, San Benito, Paraíso, León XIII, Santa Mónica Popular.
La institución cuenta con tres sedes educativas separadas por distancias cortas, lo cual facilita el rápido traslado de docentes de una sede a otra, en particular para la asistencia a reuniones u otras actividades institucionales. Se destaca que a pesar de que cada sede educativa tiene sus características propias en la dinámica de trabajo, los miembros de la comunidad educativa logran mantener un excelente proceso de comunicación y cordialidad en las relaciones personales y profesionales.
Figura 1.

La sede principal Eva Riascos Plata, brinda el servicio de educación básica de 6º a 9º y media vocacional 10º y 11º en las jornadas mañana y tarde, contando también con educación para adultos por ciclos, en la jornada nocturna. Existe convenio para la media técnica con las IE Santo Tomás, sede Cascada, en el que los estudiantes tienen la posibilidad de especializarse en las modalidades que se ofrecen. La sede Hernando Caicedo ofrece dos grados de educación preescolar (jardín y transición) y básica primaria de 1º a 5º, con la modalidad de jornada única. En ella contamos con Ludoteca. La sede Alfonso Barberena, donde se desarrolló el proyecto, ofrece dos grados de preescolar (jardín y transición) y básica primaria de 1º a 5º, en las jornadas mañana y tarde.
Figura 2.

El grupo con el que se trabajó es el grado tercero de la jornada de la tarde, el cual está conformado por 37 estudiantes, de los cuales 17 son niños y 20 son niñas, sus edades oscilan entre los siete y los nueve años, con dos estudiantes que tienen 10 años. En su gran mayoría las familias son muy colaboradoras y están pendientes del proceso enseñanza y aprendizaje de los estudiantes, siendo esto una fortaleza para el desarrollo del proyecto.

Un alto porcentaje de estudiantes viven con sus madres, seguido de otro grupo que vive con ambos padres y muy pocos con otros familiares, como abuelos, tíos y uno de ellos con madre sustituta.

La mayoría de los estudiantes viven en residencias ubicadas en estrato socioeconómico uno y unos pocos en dos. Carecen de equipos tecnológicos, para trabajar solo cuentan en casa con el celular de uno de sus padres, el cual toman prestado en algunos momentos para realizar diversas actividades. Salvo dos estudiantes que disponen de computador y tres con tablet. Lo anterior restringe la realización de actividades en donde se requiera el uso de este tipo de recursos tecnológicos.

Respecto a la afiliación al sistema de salud, cuentan con Sisbén y algunos de ellos se rigen por otras Empresas Prestadoras de Salud; mientras que a nivel económico, la mayoría de padres de familia basan sus ingresos en la realización de trabajos informales, como vendedores u otros relacionados, es decir que la economía del hogar es variable.

¿Qué se hizo y por qué?
Teniendo en cuenta que la profesora encargada de orientar la enseñanza de las matemáticas a estudiantes de grado tercero manifestó sus intenciones de abordar aprendizajes relacionados con aspectos geométricos, métricos y variacionales, dado que en estos tenía poco énfasis en las actividades desarrolladas durante lo corrido del año lectivo 2021, se decidió diseñar una hoja de trabajo propuesta en esta investigación enfocada en la relación entre el perímetro y el área de figuras geométricas planas, aprendizaje estipulado en los lineamientos curriculares del Ministerio de Educación Nacional de Colombia, (MEN, 2006).

Sin embargo, haciendo uso de la app para la elaboración de formularios de Google, se diseñó un cuestionario de diez preguntas cuyo objetivo fue la identificación de conocimientos previos de los estudiantes en relación con el aprendizaje propuesto. (Ver Anexos)

Tabla 1.
Estructura cuestionario de diagnóstico para identificación de conocimientos previos de los estudiantes participantes en relación a las nociones de perímetro y área de figuras planas.

Los resultados de investigación se describen en función de los avances y/o dificultades de los estudiantes respecto al pensamiento métrico, espacial y variacional al momento de resolver problemas matemáticos que involucran el cálculo del perímetro y área de figuras geométricas planas en situaciones de cambio y variación, información cruzada a partir de los hallazgos del diagnóstico inicial, la observación de los encuentros profesora-estudiantes y los registros de las tareas realizadas por los participantes.

La hoja de trabajo diseñada se estructuró con tres actividades matemáticas que relacionan el uso de cuadrados y rectángulos en situaciones de variación y cambio por ser las figuras geométricas más conocidas por los estudiantes. De esta manera se buscó hacer uso de construcciones geométricas que especificaran diferentes medidas en centímetros de las dimensiones de un rectángulo como estrategia didáctica para la contextualización de la siguiente situación problema:

Enunciado: En la finca tengo 30 gallinas y 15 conejos, haciendo uso de 36 metros de malla para encierro, ¿de qué medidas puedo construir corrales para separar los animales? ¿Cuáles son las dimensiones del corral de mayor área?

Las tres actividades diseñadas en la hoja de trabajo se configuraron haciendo uso del ambiente de aprendizaje interactivo y dinámico que, para la solución de problemas, ofrece el software de GeoGebra, el recurso gratuito genial.ly y material concreto manipulativo representado en fichas de trabajo para la enseñanza y rectángulos elaborados por los estudiantes en cartulina y revestidos con lana o hilo en sus contornos.

Dado que las actividades se realizaron de forma virtual, mediante encuentros sincrónicos por Google Meet y asesorías complementarias utilizando la aplicación WhatsApp, iniciamos con un diagnóstico elaborado en un formulario de Google, para identificar qué conocían los estudiantes sobre las temáticas a trabajar y así poder establecer un plan de acción para planificar las actividades a desarrollar con los estudiantes.

Empezamos a incorporar en diversas clases el uso del software GeoGebra para que los estudiantes se familiarizaran con él y comprendieran su potencia. Esto se realizó a través de videos explicativos de cómo acceder a la plataforma, imágenes de la interfaz del programa y se utilizó este software en diferentes encuentros con los estudiantes con el objetivo avanzar en el conocimiento de uso de esta herramienta.

Se mostró a los estudiantes los conceptos de perímetro y área, previo a esto, ellos ya conocían conceptos tales como figura plana, polígono, entre otros preconceptos importantes para abordar la relación entre perímetro y área.

De acuerdo a lo anterior y apoyados con el software GeoGebra, se realizó un primer encuentro virtual sincrónico en la plataforma Meet, se les mostró a los estudiantes el concepto de perímetro y la manera de calcularlo correspondiente a la primera parte de la actividad uno de la hoja de trabajo propuesta. Se realizaron varios ejercicios prácticos utilizando diferentes polígonos, tanto regulares como irregulares, cuando ya tenían el proceso interiorizado se elaboró un taller con actividades prácticas y de resolución de problemas, recuperado del texto: Descubre Matemáticas 3, del Ministerio de Educación Nacional.

En un segundo encuentro, realizado con igual metodología del primero, se trabajó con los estudiantes el concepto de línea poligonal, haciendo uso de una presentación en Power Point correspondiente a la segunda parte de la actividad uno de la hoja de trabajo propuesta. También se realizaron ejercicios prácticos de recubrimiento del contorno de rectángulos y cuadrados haciendo uso de trozos de lana o hilo. En forma adicional se diseñó una tarea con la app genial.ly en la cual los estudiantes debían arrastrar y asociar sobre la pantalla, tres tipos de representaciones gráficas referidas a una misma figura geométrica: 1) Texto con dimensiones de un rectángulo; 2) Rectángulo de dimensiones especificas en centímetros; 3) Línea poligonal asociada a un rectángulo de medidas específicas en sus lados. Lo anterior como estrategia de consolidación de conocimientos adquiridos durante esta práctica.

En un tercer encuentro con los estudiantes se abordó la actividad dos de la hoja de trabajo propuesta. Para lo cual se explicó el concepto y cálculo de área de rectángulos y cuadrados y su relación con el perímetro, variando las medidas de sus lados y apoyados en el conteo de centímetros cuadrados que recubren la figura geométrica, para realizar variados ejercicios relacionados.

En un cuarto y último encuentro con los estudiantes se resolvió el problema matemático propuesto en la actividad tres de la hoja de trabajo. En este espacio la metodología consistió en contextualizar el enunciado del problema, como lo indica el enfoque de resolución de problemas de Pólya, para dar paso a que en diálogo entre la profesora y los estudiantes se expusieran diferentes planes de solución, haciendo uso de los conocimientos y estrategias emergentes en encuentros anteriores.

En MEN 2006, se menciona el carácter pragmático e instrumental del conocimiento matemático como elementos relevantes al momento de utilizar conceptos y proposiciones en las prácticas dentro y fuera de la institución educativa. Apoyados en la teoría del aprendizaje significativo de Ausubel destacan que la significatividad del aprendizaje se extiende a las “prácticas sociales con sentido, utilidad y eficacia”.

En este sentido, MEN 2006, identifica los desempeños de comprensión como actuaciones, tareas y proyectos en los cuales el aprendiz demuestra la comprensión adquirida, la cual consolida y profundiza en la medida en que practica diferentes métodos y técnicas al ejecutar determinada tarea matemática.

Haciendo revisión de diferentes investigaciones, MEN 2006 acude a la noción de “ser matemáticamente competente” para precisar que en todos los niveles educativos, sus fines se ajustan a una enseñanza de las matemáticas enfocada al alcance de un “conjunto de habilidades, conocimientos, actitudes, comprensiones y disposiciones cognitivas, socioafectivas y psicomotoras, relacionadas entre sí” para facilitar el desempeño del estudiante en diferentes situaciones cotidianas, de la matemática o de otras disciplinas en forma flexible, eficaz y con sentido para la tarea realizada en contextos nuevos y retadores.

Resolución de problemas y Material manipulativo
En el proceso de resolución de problemas matemáticos los estudiantes construyen diversas representaciones gráficas y/o simbólicas. Estas juegan un papel importante para organizar su pensamiento como indica Araya (2007). Es decir, lograr que sus ideas sean más concretas y disponibles para la reflexión (NTCM, 2000).

Los profesores pueden obtener valiosa información sobre la forma en que los estudiantes interpretan y piensan sobre las matemáticas, mirando sus representaciones (NTCM, 2000). En particular en la metodología de los “cuatro pasos” propuesta por Pólya, G. (1990) se estipula que:

1. Comprender el problema. Mediante preguntas como: “¿Cuál es la incógnita? ¿Cuáles son los datos? ¿Cuál y cómo es la condición?” (p. 19) el estudiante debe contextualizar el problema.
2. Concebir un plan. En esta fase, Pólya sugiere encontrar algún problema similar al que se confronta. En este momento, se está en los preámbulos de emplear alguna metodología. Esta es la forma en que se construye el conocimiento según Pólya: sobre lo que alguien más ha realizado.
3. Ejecución del plan. Toda vez que se tiene en claro un plan de ataque, este debe ejecutarse y observar los resultados. Desde luego que el tiempo para resolver un problema es relativo, en muchas ocasiones, es necesario un ir y venir entre la concepción y la ejecución del plan para obtener resultados favorables.

 
En concordancia con lo anterior: “El aprendizaje, no es la simple asimilación de paquetes de información que nos llegan desde afuera, sino que se explica con una dinámica en la que existe un encaje entre las formaciones nuevas y nuestras viejas estructuras de ideas.” (Piaget, s.f.)

En este sentido Delgado Martínez y Giraldo Gómez (2018) precisan que el estudiante, a la hora de aprender matemáticas, debe cumplir con un proceso de asimilación que va desde el trabajo concreto y la interpretación pictórica, hasta la proyección simbólica como propuesta de mayor comprensión de los procesos matemáticos.

El trabajo concreto apoyado por recursos manipulativos físicos o virtuales, entendidos estos como cualquier tipo de material u objeto físico que el estudiante pueda “palpar” para ver y experimentar conceptos matemáticos como definen Godino, Batanero y Font (2003), constituye un primer paso del estudiante para la adquisición de información con intención de convertirse en conocimiento, como indican estos autores. Es decir que en el proceso de enseñanza aprendizaje interesa promover la actividad manipulativa y de deducción de conceptos matemáticos, como indica Fischbein (1987), dada la dificultad para lograr capacidad abstracta en los estudiantes. Máxime que nuestra naturaleza “no nos permite movernos únicamente en contextos puramente simbólicos” como indica este autor.

Uso de tecnología
De acuerdo con Araya (2007), en las tendencias actuales de la enseñanza de la matemática, se destaca el papel relevante del uso de la tecnología como un medio que permite que los estudiantes lleguen a resultados matemáticos de manera más eficiente, comparados con ambientes de aprendizaje que solo hacen del “lápiz y el papel”. Estos medios tecnológicos ofrecen al estudiante condiciones para identificar, examinar y comunicar diferentes ideas matemáticas (Araya, 2007). Al mismo tiempo se convierten en una poderosa herramienta para que los estudiantes generen diferentes representaciones de los objetos matemáticos emergentes en sus tareas matemáticas como mencionan Barrera y Santos (2001).

Introducir la tecnología en el aula de clase supone diferentes cambios en los ambientes de aprendizaje de las matemáticas y la forma como el profesor diseña actividades para el trabajo con los estudiantes, lo cual, como menciona Martin (2000), permite ir más allá de los procesos rutinarios, tan prevalecientes en los cursos regulares de matemáticas.

Las actividades de “lápiz y papel” se han enriquecido con los ambientes computacionales como indican Camacho y Santos (2004), en particular en procesos variacionales el uso del software de geometría dinámica GeoGebra permite construir puentes entre diferentes ideas intuitivas y los conceptos formales como el cálculo del perímetro y área de figuras geométricas planas. Lo anterior permite generar condiciones favorables para identificar y analizar relaciones matemáticas entre estas dos magnitudes, de una manera más inductiva como mencionan Williamson y Caput (1999).

¿Con qué materiales se ejecutó el proyecto?
Para realizar el trabajo propuesto en este proyecto de investigación con estudiantes de grado tercero se utilizaron los siguientes recursos:

1. Internet y plataformas: Las sesiones de clases realizadas en horas de la tarde (2:00 p.m. a 3:00 p.m. grupo 1 y 3:00 p.m. a 4:00 p.m. grupo 2) se apoyaron en el uso de la plataforma Meet de Google y Jamboard, con cuenta de usuario para cada participante, las grabaciones y materiales del curso de geometría se alojaron en https://classroom.google.com/, de igual forma para la realización del diagnóstico inicial se utilizó la aplicación de Google formularios.
2. Material Manipulativo: Para la realización de las actividades propuestas a los estudiantes en la hoja de trabajo se requirió de rectángulos de diferentes dimensiones elaborados en cartulina y trozos de hilo para medir perímetros.
3. GeoGebra: En las actividades de enseñanza se utilizó este software para identificar algunas características de los polígonos, las líneas poligonales y el cálculo de perímetros y áreas de rectángulos.
4. App genial.ly: Se diseñó una actividad de asociación entre líneas poligonales, rectángulos y sus dimensiones haciendo uso de la aplicación https://view.genial.ly/60fe0cf1dddb8a0d804aabfd/interactive-content-perimetro-rectangulos-y-poligonales.

 
Análisis de resultados.

Análisis del estudio diagnóstico

En esta sección analizaremos los resultados de las preguntas de la 5 a la 10 del cuestionario diagnóstico.

Pregunta No. 5. El Perímetro de la figura es:

A. 3 centímetros B. 4 centímetros C. 7 centímetros D. 14 centímetros

En esta actividad se evalúa el concepto de perímetro de un rectángulo. Los estudiantes debían visualizar la figura e identificar con la ayuda de la cuadrícula que se trata de un rectángulo. Los lados opuestos de un rectángulo tienen la misma medida. Posteriormente deben aplicar la definición de perímetro como la suma de las longitudes de los lados del rectángulo y aplicar adecuadamente el algoritmo de la adición P=3 cm + 4 cm + 3 cm + 4 cm; P = 14 cm.

Llama la atención que el 55% de los estudiantes se hubieran equivocado en esta actividad. Este es un indicador de la escasa comprensión de conocimientos sobre el perímetro, sobre el rectángulo y sus propiedades. La mayor parte de los errores consiste en que los estudiantes únicamente suman las longitudes dadas, 3 cm y 4 cm, pues no manejan adecuadamente el concepto de perímetro.

Pregunta No. 6 El Área de la figura es:

A. 1 centímetros cuadrados B. 7 centímetros cuadrados C. 12 centímetros cuadrados D.14 centímetros cuadrados

En esta actividad se evalúa el concepto de área de un rectángulo. Los estudiantes debían visualizar la figura e identificar con la ayuda de la cuadrícula que se trata de un rectángulo y aplicar el algoritmo de la multiplicación para calcular el área.

En este caso el 63% del grupo contesta de manera apropiada la pregunta. Sin embargo, más de la tercera parte del grupo contesta de manera equivocada. La mayoría de los errores tienen que ver con que no han desarrollado el concepto de área y realizan la suma de las cantidades dadas 3 cm y 4 cm, y responden que el área es 7 centímetros cuadrados.

En este caso podemos concluir que los estudiantes del grupo experimental operan con los números dados en problema, haciendo operaciones sin sentido. No han desarrollado un significado sobre el área y sobre lo que significa un centímetro cuadrado. También es notorio que no han desarrollado habilidades metacognitivas o de control para identificar el error y corregirlo.

Pregunta No. 7 El par de rectángulos que tienen el mismo perímetro son:

A. A y C. B. A y B. C. B y D. D. B y C.

En esta actividad se evalúa los conceptos de rectángulo y de perímetro. Los estudiantes debían tener la habilidad para calcular el perímetro en cada caso, comparar los perímetros y concluir cuál pareja de rectángulos son isoperimétricos.

El 63% de los estudiantes contesta de manera correcta. El 37% contesta de manera incorrecta. La equivocación más frecuente es que los estudiantes responden que la pareja de rectángulos que tiene el mismo perímetro son el A y el B. En su apariencia de forma son los más parecidos. Esto nos llevó a construir la hipótesis y a confirmarla, a través de las entrevistas, que en este caso los estudiantes que se equivocan son porque no tienen los recursos y las habilidades necesarias para responder, entonces acuden a la visualización, la estructura superficial de la apariencia los lleva a concluir de manera errónea, que los rectángulos más parecidos son el A y el B y que por tanto son los que tienen el mismo perímetro. Nuevamente, se observa que una parte del grupo experimental tiene escaso dominio de recursos y de estrategias de control.

Pregunta No. 8 El área del rectángulo dibujado sobre la cuadrícula es de:

A. 2 cm² B. 4 cm² C. 8 cm² D. 12 cm²

Esta actividad evalúa la definición de rectángulo, el concepto de área, el conteo o descomposición y recomposición de figuras complejas en figuras más simples. Para resolver el problema, los estudiantes podían calcular el área del rectángulo, multiplicando el largo por el ancho, en este caso 4cm X 2 cm y la respuesta es 8 cm² . Otro camino de solución era superponer el cuadrado unitario sobre el rectángulo, para determinar cuántas veces cabe.

El 55% de los estudiantes no entendió el problema. Decidieron dividir el rectángulo grande, en dos o en cuatro rectángulos pequeños. En estos casos las respuestas que obtuvieron fueron 2 cm² y 4 cm² . A partir de esta evidencia empírica, podemos concluir que más de la mitad de los estudiantes del grupo experimental no ha construido el concepto de área y que cuando no entienden un problema, como es este caso, empiezan a resolver el problema a partir de las opciones de respuesta, realizando trazos o cálculos insustanciales.

Pregunta No. 9. Los dos rectángulos de la SIGUIENTE gráfica tienen IGUAL ÁREA entonces:

1. los dos rectángulos tienen IGUAL perímetro.
2. los dos rectángulos tienen perímetro DIFERENTE.

El conocimiento evaluado tiene que ver con el perímetro de un rectángulo. La evaluación de esta actividad demanda de la visualización, calcular el perímetro de los dos rectángulos y decidir si son iguales o diferentes. El 28% de los estudiantes elige la respuesta incorrecta, que los perímetros son iguales porque no realizaron los cálculos. Estas personas se dejaron llevar por su sistema de creencias.

En este caso la creencia errónea es que las figuras que tienen el mismo área, también tienen igual su perímetro. Además, no tienen desarrollado sus estrategias de control para poner a prueba esa creencia y así identificar y corregir el error.

Pregunta No. 10. Si dos rectángulos tienen igual perímetro entonces sus áreas pueden ser:

1. Siempre serán Iguales
2. Siempre serán Diferentes
3. A veces es igual y a veces diferente
4. No sé

El enunciado de este problema es general y a diferencia de las demás actividades del diagnóstico, no refiere alguna figura concreta. La solución demanda hacer una particularización de rectángulos que tengan igual perímetro y realizar los dibujos de diferentes rectángulos que tengan ese perímetro para calcular sus áreas y para tomar una decisión.

Por ejemplo, supongamos rectángulos de perímetro igual a 12 cm. Veamos diferentes posibilidades de las dimensiones de los lados de rectángulos de perímetro 12 cm y calculemos sus áreas. Presentaremos la información del largo, ancho y áreas de los rectángulos en una tabla:

De la tabla anterior, podemos concluir que existen parejas de rectángulos de área igual perímetro y de igual área. A veces el área es diferente. Este problema es complejo porque demanda de conocimientos y habilidades de pensamiento geométricos, métrico y variacional.

Hoja de trabajo
Las siguientes actividades se desarrollaron con los estudiantes de manera virtual, por encontrarnos en ese momento en la pandemia ocasionada por el COVID-19. Previa a la realización de estas actividades se desarrollaron encuentros por Google Meet, donde los dos docentes involucrados explicaron de forma detallada los conceptos aquí trabajados y también se llevaron a cabo actividades prácticas que involucraron el trabajo con GeoGebra.

Se realizaron varios talleres sobre manejo básico de la vista algebraica de GeoGebra. Allí los estudiantes reconocieron la interface gráfica y aprendieron a trazar segmentos, rectas, rectas paralelas, perpendiculares, polígonos. También tenían que saber medir y realizar arrastre. La hoja de trabajo tuvo dos actividades. En la primera los estudiantes tenían que hacer ternas de figuras geométricas, líneas poligonales, dada una descripción:

Figura 3.

El objetivo de esta parte de la actividad era que los estudiantes utilizaran material concreto para identificar que los lados opuestos de un rectángulo tienen la misma medida y construir la idea básica de perímetro como una longitud de una poligonal.

A continuación, se muestra el rendimiento de los estudiantes en esta pregunta.

El 91% de los estudiantes logran contestar la pregunta de manera correcta.

Figura 4.

La figura anterior corresponde al trabajo de uno de los estudiantes del grupo. Se puede observar que el estudiante realizó la actividad de manera correcta.

Problema No 2. En la finca tengo 30 gallinas y 15 conejos, haciendo uso de 36 metros de malla para encierro, ¿de qué medidas puedo construir corrales de forma rectangular para separar los animales? ¿Cuáles son las dimensiones del corral de mayor área?

La actividad demanda pensamiento geométrico (trazo de perpendiculares, paralelas, concepto de rectángulo y sus propiedades), pensamiento métrico (definición de perímetro y área), pensamiento numérico (algoritmos de la adición, sustracción y multiplicación) y pensamiento variacional porque debían hacer diferentes casos, organizar la información para tratar de encontrar la manera de construir el corral que tuviese la mayor área. A continuación, se presenta el desempeño de los estudiantes en esta actividad.

La primera parte de la hoja de trabajo, les ayudó a los estudiantes a entender que los 36 metros de malla, corresponden al perímetro del rectángulo. También los estudiantes aprendieron que los lados opuestos de un rectángulo tienen la misma medida.

Los estudiantes dibujaron casos particulares de rectángulos que cumplieran la condición de que la suma de los perímetros fuera 36 metros. Exploraron varios casos particulares tanto en papel y lápiz como con GeoGebra y obtuvieron representaciones como la siguiente:

Figura 5.

El ensayo y el error jugaron un papel importante en la solución de este problema. Por ende, la implementación de estrategias metacognitivas fue vital para llegar con éxito a la solución del problema. En este sentido, los estudiantes debían hacer una construcción de dos rectángulos cuya suma de perímetros fuera 36 m y calcular el área de los rectángulos y sumar. Hacer diferentes particularizaciones para tratar de encontrar el caso en donde el corral tuviese el mayor área.

En la primera parte de la solución del problema los estudiantes trabajaron de manera individual. En la segunda parte se hizo una socialización de los avances de solución. En esta parte se observaron los siguientes aspectos:

1. Los estudiantes habían entendido el problema y a esta altura de la intervención didáctica ya tenían claro los conceptos de rectángulo, sus propiedades y los conceptos de área y perímetro.
2. Se generó un ambiente muy agradable de aprendizaje donde había una sana competencia académica para generar el rectángulo de mayor área. Esto trajo consigo una clase dinámica y lúdica donde se presentaron diferentes alternativas de solución.
3. El uso de GeoGebra en la solución del problema ayudó a realizar trazos de paralelas, perpendiculares, medir, construir rectángulos y comprobar los cálculos hechos con lápiz de área y perímetro.

 
¿Cuáles son las lecciones aprendidas?

En la parte inicial del estudio que aquí se reporta, se encontraron varias dificultades relativas al dominio de los conceptos de área y de perímetro de un rectángulo, a la definición de rectángulo y a sus propiedades.

En algunos problemas, la información necesaria para responderlos no estaba explícita en el enunciado, por el contrario, se podía deducir a partir de las figuras y del texto expuesto en el planteamiento del problema. En estos casos fue notoria la dificultad de la comprensión lectora del enunciado y la de extraer información adicional a partir de la definición de rectángulo.

Otro resultado que se obtiene a partir de las respuestas del estudio diagnóstico es que los estudiantes no tienen desarrollados procesos centrales del pensamiento matemático como particularizar, generalizar, encontrar patrones y conjeturar. Sacan conclusiones generales a partir de un caso particular.

Los estudiantes no pudieron resolver el problema que dice: ¿si dos rectángulos tienen igual perímetro entonces sus áreas son iguales o diferentes? En este caso el problema tuvo varias dificultades. El enunciado no se acompaña con un gráfico particular como en otros casos del diagnóstico, no se puede resolver aplicando mecánicamente un algoritmo. El proceso de solución demanda el conocimiento de los conceptos de área y perímetro, conocer propiedades del rectángulo, hacer varios casos particulares donde se fija el perímetro y se estudia la variación del área.

El diseño e implementación de un cuestionario de diagnóstico de conocimientos previos de los estudiantes, posibilitó recolectar información importante para planear, diseñar y ejecutar las tareas propuestas en la hoja de trabajo.

De acuerdo a la implementación de la hoja de trabajo diseñada se logró realizar varios encuentros entre profesora y estudiantes para avanzar en la realización de las tres actividades propuestas haciendo uso de material manipulativo para el cálculo de perímetros, el trazado de cuadrículas sobre rectángulos elaborados en cartulina para determinar el área y su comprobación mediante fórmula matemática. Lo anterior apoyado por la utilización del software GeoGebra en el proceso de enseñanza para apoyar la estructuración de conocimientos y la evaluación de lo aprendido.

Al mismo tiempo, durante los encuentros, se posibilitó el diálogo matemático al momento de resolver los ejercicios propuestos en términos de proponer soluciones, intentar estrategias de solución, aclarar dudas emergentes a nivel conceptual y procedimental, dada la motivación generada en los estudiantes ante los recursos tecnológicos y concretos utilizados.

Este proceso permitió generar otra representación gráfica del perímetro de una figura plana al construir una línea poligonal asociada al contorno de la figura geométrica en estudio y la mayoría de estudiantes alcanzaron excelentes niveles de desempeño en las tareas propuestas a su ritmo de aprendizaje. De igual forma, los estudiantes fueron más propositivos al momento de generar estrategias de solución del problema propuesto en situación de variación y cambio.

El diseño de ambientes de aprendizaje mediados por recursos tecnológicos y manipulativos (concretos) requiere de un alto compromiso por parte del profesor para la planeación, ejecución y evaluación de tareas para los estudiantes, no sin antes tener en cuenta estrategias de diagnóstico de conocimientos previos necesarios para abordar un aprendizaje determinado con el grupo de estudiantes.

Estos ambientes de aprendizaje enfocados en la resolución de problemas facilitan en los estudiantes el desarrollo de pensamiento matemático dados los altos niveles de interacción entre estudiantes, estudiantes-profesor y estudiantes-recursos educativos.

Referencias

Araya, R. G. (2007). Uso de la tecnología en la enseñanza de las matemáticas. Cuadernos de Investigación y Formación en Educación Matemática (pp. 11-44).

Delgado Martínez, L. & Giraldo Gómez, H. (2018). Enseñanza de las matemáticas a través del método Copisi.

Ministerio de Educación Nacional (2006). Estándares básicos de competencias en matemáticas (pp. 46-95).

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